Mathematica符号运算.doc

第3章 符号运算 求解析解(公式解)的主要工具是符号运算,所谓符号运算是指运算的主要对象是符号?文字或变量?所进行的运算自然是指精确解公式中所需要的各种运算了?比如二次方程求根,被运算的主要对象是文字a?b?c,而不是具体的数值1?2?3,所进行的运算是加?减?乘?除?平方?开平方等? 在符号运算中,表达式的变换是最基本的也是最常见的运算,例如对多项式进行展开?分解、集项或者化简等。 3.1 表达式的变换 这里的表达式主要是指多项式与有理式（分式多项式），有时也可以是三角多项式等。 化简Simplify[表达式] 设法化简表达式,寻求等价的最简形式 化简FullSimplify[表达式] 使用更广泛的变换化简表达式 展开Expand[表达式] 展开分子,每项除以分母 展开ExpandAll[表达式] 分子与分母完全展开 分解Factor[表达式] 将表达式分解因式,表示为最简因式的乘积 通分Together[表达式] 用于通分,把所有的项放在同一分母上,并化简 约分Cancel[表达式] 用于约分,消去分式中分子和分母的公因式 分项Apart[表达式] 将有理分式分解为一些最简分式之和 集项Collect[表达式,某一个(或某几个)变量] 将表达式按照某一个(或某几个)变量的幂次进行集项 【例1】 化简下面各表达式? 3.2 函数的极限 求函数的极限需分为两种情况,一种是当x→a(a为一有限实数)时,函数f(x)→?,另一种是当x→∞(∞为无穷大记号,包括+∞与-∞)时f(x)→?,在数学里记为limx→af(x)=?与limx→∞f(x)=?,而在Mathematica里记为Limit[f(x),x→a]与Limit[f(x),x→Infinity]? 【例1】 【例2】 【例3】 Note: (1)对某些函数,极限虽然存在,但利用 Mathematica系统不一定能够求出来? (2)对某些函数,利用Mathematica系统虽然求出了极限,但却不能保证所得结果的正确性? 3.3 导函数与偏导数 3.3.1求导函数 D[f(x),x] D[f(x),{x,n}] 上面第一式是将f(x)对x求一阶导数,而第二式是将f(x)对x求n阶导数,式中的D是求导符号.3.2求偏导数 D[f(x,y),x,y] 将f(x,y)先对x求导,再对y求导D[f(x,y),{x,m},{y,n}] 将f(x,y)先对x求m 阶导数,再对y求n阶导数.4不定积分与定积分 3.4.1不定积分 求不定积分在数学里的符号是 ∫f(x)dx=F(x)+c在Mathematica系统中的符号是Integrate[f(x),x]=F(x) ( 将常数c略去不写 )式中Integrate是求不定积分的符号,f(x)为被积函数,x为积分变量Note: 在初等函数范围内,不定积分有时是不存在的,亦即当f(x)为初等函数,而∫f(x)dx却不一定是初等函数Zhou er 3.4.2 定积分 Integrate[f(x),{x,a,b}] 3.5 将函数展开为幂级数 Series[f(x),{x,x0,n}] 式中f(x)为给定的函数,x0为展开点的坐标,n为展开的项数.6 求和与求积 求和 Sum[un,{n,n1,n2}]求积 Product[un,{n,n1,n2}]式中un为通项,n为通项的项数,n1为起始项,n2为终止项,n2可以取有限数,也可以取Infinity(即+∞).7 　方程求根 在Mathematica系统中为我们提供了求解各类代数方程精确解的求解函数Solve,它的调用格式如下Solve[代数方程(或方程组),未知量].8 常微分方程求解 在Mathematica系统中,利用符号运算求解常微分方程的调用函数是DSolve,它的求解对象自然也是以线性常微分方程,特别是常系数线性常微分方程为主利用DSolve函数求解微分方程的调用格式如下:求通解 DSolve[微分方程或方程组,未知函数,自变量]求特解 DSolve[{微分方程,初始条件},未知函数,自变量].9 偏微分方程求解 （略） 第 3 页 共 4 页