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第一章 预备知识第一节　线性空间 定义、性质及例子 基与维数 基变换与坐标变换 子空间和维数定理 线性空间的性质 二、基与维数 三、基变换与坐标变换 * * 一、线性空间的定义、性质及例子 定义１ 设V 是一个非空集合，F 是一个数域（实数 域或复数域），在集合V 的元素之间定义了一种代数 运算，叫做加法，即对于任意两个元素 与 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为 ；在数域F 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，对于F中任一个数k与V 中任一元素 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为k与 的数量乘积，记为 ．若加法与数量乘法满足下述八条规则，那么V 称为数域F上的线性空间． 加法满足下面四条规则： 数量乘法满足下面两条规则： 数量乘法与加法满足下面两条规则： 当F 为实数域时，V 称为实空间；当F 为复数域时，V 称为复空间． 　 (3) 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则不能构成线性空间． 说明 　　(2) 凡满足八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算． 　 (1) 线性空间不能离开某一数域来定义．实际上，对于不同数域，同一个集合构成的线性空间会不同，甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为线性空间． (1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的． (4) 如果 ，则 或 . 设 是线性空间V 中的任一组 向量， 是F 中任一组数， 也是V中的向量，称y 是向量组 的一 个线性组合， 叫做y 的一个线性表出． 定义2 例１ F=C，又设 对于通常的加法和数乘 运算，V 构成线性空间，是一个复线性空间，称为 n 维复坐标向量空间，记作 ． 若将上例中的 C 全换成 R ，则可得到 n 维实坐 标向量空间，记作 ． 和 是最常用的两个线性空间． 同样，　　为一个实线性空间． 例2 F=C，又设 对于通常的矩阵加法和数乘运算， V 构成一个复线性空间，一般记为 ． 为一个实线性空间． 对于通常的多项 式的加法和数乘运算， 例3 次数不超过n 的多项式的全体记作 ，即 注意 n 次多项式的全体 对于通常的多项式的加法和数乘运算不能构成线性 空间． 例4 F=C， 定义与　 中相同的运算， V 构成一个复线性空间， 叫做矩阵Ａ的零空间（或核），也叫做方程　 的解空间，记为N(A)．　　 例5 F=C ，定义与　 中相同的运算， V 构成一个复线 性空间，叫做矩阵Ａ的列空间，或A的值域，记为 R(A)．　　 例６ 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法 及乘数运算为 对上述运算 构成实数域R上的线性空间． 定义３ 向量组线性无关等价于 当且仅当 时成立． 定理1 定义4 设S 是线性空间V 上的子集，如果S 的任意有限子集都线性无关，且V 的任何向量均可被S 表出，则称S 是V 的基． 定理2 如果线性空间V 的基S 恰含n 个向量，则V 的任何基都恰含n 个向量． 有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n 为空间的维数，即作dimV=n ． 次数不超过n 的多项式全体构成n +1维线性空间． 是 n维空间，　 　　 是 m×n维空间，　 　　 定理3 n 维线性空间中任何n 个线性无关的向量都是线性空间的一组基． （1）只含有零向量的线性空间称为0维线性空间，因此它没有基． 说明 （4）若向量组 是线性空间 的一个基，则 可表示为 （2）若把线性空间V 看作向量组，那末V 的基就是向量组的最大无关组，维数就是向量组的秩. （3）线性空间的基不惟一. 例7 注意 线性空间V 的任一元素在不同的基下所对应 的坐标一般不同，但一个元素在一组基下对应的坐 标是唯一的． 例8 如果将复数集合C 看作数域C 上的线性空间， 那么数1就是它的一组基，所以它是一维线性空间； 如果将复数集合C 看作实数域上的线性空间，那么 数1和i 就是它的一组基，这时空间是二维的． 　　空间的维数与所考虑的数域有很大的关系． 　　问题：同一个向量在