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第二章 控制系统的数学模型 2-1 控制系统的时域数学模型 图2-1 RLC四端网络 “系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系 图2-2 电动机原理图 在工程应用中 La 相对很小，忽略不计， 解：输入Mm(t)， 3. 线性系统的特性 5. 非线性微分方程的线性化 例 非线性函数线性化 例 航向稳定的船舶运动方程。 关于小偏差线性化： * 2-1 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的结构图与信号流图 2-2 控制系统的复数域数学模型 ， 2-4 数学模型的实验测定法 自动控制理论研究抽象化的实际系统，数学 数学模型是用数学方法分析系统的基础，数 学分析能够用准确的数学语言描述系统的工作过 程和特性。 模型代表具有同样特性的所有系统。 研究某个实际系统的性能时，只需列写出它 有相同的特性。 的数学模型，就可以应用《自动控制原理》的理 论和方法，了解该系统。 建立数学模型的方法有两大类，理论(分析) 建模和实验建模。本章只研究理论方法建模，系 统数学模型有多种表现形式：微分方程、传递函 数、方框图、信号流图等。 具有相同数学模型的实际系统，必然 本章重点是如何求取控制系统的传递函数。 1. 线性元件的微分方程 2. 控制系统微分方程的建立 ⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确 立系统的输入变量和输出变量； 各元件的微分方程； ⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变 基本步骤(P23，第二自然段)： 量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出 ⑷ 将方程写成规范形式。 解：从输入到输出顺序列写各元件方程； 利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量， 写成规范的微分方程(标准形式)： 例2-1 电阻R、电感L和电容C组成的四端网络如 图2-1所示， uL uR L R C ↓uo ui↓ i 为输入量，uo(t)为输出量的 网络微分方程； 列写以ui(t) 记 统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。 在复数域，复变量s对应微分运算，而 1/s对 “输出对输入的响应”是指, 初始条件为零时， 系统在输入信号作用下，输出的运动情况。 应积分运算。 因此，可以直接列写控制系统在复 数域的方程。就例2-1而言有： 消去中间变量 I(s)，得 电磁转矩方程： 转矩平衡方程： 例2-2 系统输入ua(t)，输出ωm(t)， 负载扰动输入 Mc(t)， 解： 电枢回路电压平衡方程 SM 负 载 ↓ Ea → ua ↓ if 消去中间变量：将前3个方程代入最后的方程， 整理得 记 方程简化为， 测速发电机的负载Mc(t)，转动惯量Jm和粘性 摩擦系数 fm 均近似为零，于是有 x K F f m 图2-3 例2-3：机械位移如图2-3所示， 解：系统输入F，输出x； 力平衡方程： 整理得， 例2-4 列写图2-4所示齿轮传动系统的运动方程 齿轮传动关系： f2 J1 ω1 Mm Z1 M1 f1 J2 Z2 M2 ω2 Mc 图2-4 功率相等 输出ω1(t)； 线速度相等 利用传动关系消去中间变量，记 n = Z1/Z2 ； 可简记为， 式中的符号与上式相对应。 线性性质：满足叠加和比例性质，即两个同 时加在系统输入端的输入信号对系统输出的总作 用，与各自作用的和相等。 在初始条件均为零时，输入信号是原输入信 号的微分 ( 积分 ) ，则系统的输出信号是是原输出 信号的微分(积分)。 线性微分方程 两边同时积分或微分，方程仍然成立。 4. 线性常微分方程求解(略) 任何一个元件或系统都存在一定程度的非线 用线性模型近似实际的非线性模型的过程， 性特性，分析、调整非线性系统很困难。在小偏 差范围工作时，绝大多数系统都可以看作是线性 系统。 使用近似的线性模型，便于分析和处理。 即他们的各阶导数均为零。 称为线性化。 工作点：系统预定的平衡工作状态； 平衡状态：系统的输入和输出变量不变化， 勒展开式替换原变量。 线性化方法：用变量在平衡点邻域的一阶泰 设非线性函数为Z = F(x,y)，工作点(x0,y0) 。 设Z = x y 2，x0 = 2，y0 = 1； 若(2.1，1.1)， x y 2 = 2.541； ≈2.5； 若(2.05，1.05)， x y 2 = 2.260125；≈2.25。 式中 a3、T 和 K 是与船舶结构和水域情况有关的 化较大时(Norrbin模型) 记 常数。 得到小舵角( δ5°)操纵时的船舶运动模型 输出为航向角 ，输入是舵角 ，在舵角变 工作点： ⑴必须有明确的平衡工作点，线性化模型只 ⑶在工作点不能作泰勒展开的系统，不可能 在该工作点邻域有效； ⑵线性化