2.1-2.2群表示理论.pptVIP

2.1 群的矩阵表示 2.2 舒尔引理 2.3 表示矩阵元的正交性定理 2.4 表示的构造 2.5 基函数的性质 2.6 表示的特征标 2.7 群元空间 2.8 正规表示 2.9 完全性关系 2.10 表示的直积 2.11 直积群的表示 定义：群 G 的矩阵表示，就是一个与群 G 同态的方知阵 群．也就是说，对于群 G 的每一个元 A ，对应着方矩阵群的 一个方矩阵 D(A) ，并且 D(A)D(B) = D(AB) (2.1-l ) 对于群 G 中的每一个 A 及 B 都成立． 若知阵群与群 G 是同构关系，那么这个表示就称作确实表示；若二 者是同态关系，群 G 的元多于矩阵群的元，那么，群 G 的几个元就对应 于一个相同的矩阵，这种表示就称作不确实表示．后面还会看到矩阵群 大于群 G 的同态关系．群 G 的表示记作 DG； , 矩阵的行（或列）数l称 作表示的维数． 由定义可知： ( l ) D ( E ) = I0 , I0是 l×l 的单位矩阵； (2.1-2 ) ( 2 ) D (A-1)＝[D(A)]-1. (2.1-3 ) 一个群的矩阵表示必然自动地就是其子群的一个矩阵表示，简称为 “表示” . 例 在第一章中 3×3 的矩阵群d3群与正三角形 的对称群D3群同构，因此， d3 群的各元就是 D3 群的一个三维的确实表示．即 第一章还给出了六个2×2矩阵组成的群. 该群与d3群 同构，因而也与D3群同构，所以是D3群的一个二维 表示. 由于D3群与C3V群同构，而当用坐标变换来表示 C3V群的操作时，就得到了D3群的一个三维表 示，即： D3 群的一个一维表示是要提出的，那就是由仅有一个元的 矩阵形成的表示，即 D(E)=D(A)=D(B)＝…=(1) 这个表示称作恒等表示（平庸、单位、显然表示）．任何一 个群都有这么一个恒等表示． 可见，任意一个群，都有无限多个表示，这些表示都 可由若干个基本的表示形成，而每一个群的基本表示的个数却 往往是有限的． 等价表示与幺正表示 （1）等价表示 相似变换 有一个l维的方矩阵 M ，若用一个非奇异的 l×l 矩 阵 S 进行变换 M = S-1MS (2.1-4 ) 那么 M’就称作 M 的相似变换. 等价表示 两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示． 记作 DG~ DG’．由于矩阵之间的关系不受相似变换的影响，所 以把一切等价的表示都认为是相同的表示． 要证明对于群G的一个表示DG进行相似变换后得到的DG’ 仍为群 G 的一个表示．即证明，当 D(A)D(B)=D(C)时， D’(A)D’(B)=D’(C) 亦成立．其中 A，B是群 G 中的任意元， C = AB . 证明：根据定义 D’(A)D’(B)=(S-1D(A)S)(S-1D(B)S) = S-1D(A)D(B) S = S-1D(C)S= D’(C) 例： 将 d3 群的各元（D3群的表示），用幺正矩阵 作相似变换，得到新的表示为 (2)幺正表示 幺正矩阵 如果一个矩阵U的逆U-1等于矩阵 U 的复共轭 转置矩阵?* , U就称作幺正矩阵．由于?* = U+ , ，所以当U-1 = U+时， U就是幺正矩阵. 任何一个实正交矩阵R是幺正的．因为 R 是正交的，所 以 ，由于R是实的，所以 (2.1-5 ) 幺正表示 若群G 的一个矩阵表示中，所有的矩阵都 是幺正的，那么这个表示就称为群 G 的一个幺正表示