§1.3集合之间的关系.docVIP

§1.3 集合之间的关系 预备知识 集合的概念、基本数集 重点 子集、真子集、全集、补集的概念 难点 包含和真包含的区别 学习要求 掌握子集、真子集的概念 了解全集、补集的概念 会判定已给两个集合之间包含关系 在§1.3中曾经提到集合有“大”有“小”，集合的元素有“多”有“少”．这里的所谓“大小”、 “多少”都是通俗用语，讲讲而已．是不是所有的集合之间都能作比较？如何准确地描述比较的结果？这些就是本节所要学习的内容． 1. 集合的包含关系 先考察你比较熟悉的基本数集．根据数的含义，我们知道有这样的关系： x是自然数?x是整数?x是有理数?x是实数． 但所有的箭头反过来是不对的，例如肯定有理数不是自然数．用集合的语言来表示： 任意xN?xZ；但存在x?Z, x?N． (1) 直观上说，整数集的元素比自然数集的元素多，或者说整数集比自然数集大，也就是说，整数集包含了自然数集；说得精确一些，整数集真包含了自然数集．在集合关系上，把这样的关系可以说成：自然数集是整数集的真子集，我们用符号表示为N?Z或Z?N．这里用两个简单的数学符号“?”,“?”表达了(1)所叙述的全部意思，至于采用其中的哪一个，全看你把真子集写在符号的哪一边． 同理，因为 任意xZ?x?Q，但存在x?Q, x?Z， 所以 Z?Q或Q?Z； 因为 任意x?Q?x?R，但存在x?R, x?Q， 所以 Q?R或R?Q． 把这些关系连在一起，可写成 N?Z?Q?R或R?Q?Z?N． 发挥维恩图能表示集合“大小”的特长，图1-5清楚不过地表示了这种包含关系． 回到一般集合上．两个集合A,B，如果具有(1)那样的 关系，即任意 x?A?x?B，但存在x?B, x?A， (1-3-1) 那么就说集合B真包含了集合A，集合A是集合B的真子 集，记作A?B或B?A．在维恩图上表示为图1-6． 集合的包含关系，或者说哪个集合是另一个集合的 真子集，本质是比较集合的“大小”，比较集合元素的“多少”． 因为空集内没有元素，哪个非空集合都能真包含它， 所以空集是一切非空集合的真子集． 例1 讨论下列集合的包含关系： (1)A={本年天阴的日子}，B={本年天下雨的日子}； (2)A={x|x?本班且所有各门课成绩都不低于90分｝，B={x|x?本班且仅有数学成绩不低于90分}; (3)A={-2,-1,0,1,2,3}，B={-1,0,1}． 解 (1)因为两天必定是阴天，但阴天未必下雨，所以B?A； (2)因为任意x?A?x的各门课成绩都不低于90分?x的数学成绩不低于90分?x?B；但存在x?B，他的数学成绩不低于90分，但有其他课成绩低于90分，这样x?A，由此A?B； (3)x?B?x=-1或0或1?x?A；但存在x=-2?A, -2?B，所以A?B． 现在把例1(2)的集合B改变一下： B={x|x?本班且数学成绩不低于90分}， 情况立即发生了变化：我们不能吃准在数学成绩不低于90分的学生中，有没有人其它学科成绩低于90分？于是作为判断B真包含A的条件(1-3-1)只剩下前一半： x?A?x?B， (1-3-2) 这就是说，只能判断集合A不可能比B“大”，即B一定包含了A，但是不能判断B一定是真正包含了A． 回到一般的集合．两个集合Ａ,Ｂ，若其元素成立关系(1-3-2)，则就说集合B包含了集合A，集合A是集合B的子集，记作A?B或B?A，维恩图仍然如图1-6． 以前说若两个集合含有的元素相同，则这两个集合相等．从包含关系来看，现在也可以改述为：若A?B且B?A，则A,B叫做相等． 例2 写出集合A={1,2,3}的所有非空真子集和非空子集 解 集合A的所有非空真子集是：{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}； 集合A的所有非空子集是：{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}． 例3 用符号“?”,“?”连接下面几个集合： A={一年内的晴天}；B={一年内发生降水的天}； C={一年内不发生降水的天}；D={一年内的阴天}． 解 A?C，B?D． 尽管集合A,B,C,D都是一年内发生各种天气现象的集合，但未必一定存在包含关系． 课内练习１ 1. 用“?”