基于线性代数与差分方程方法的模型.ppt

基于线性代数与 差分方程方法的模型 徐海学院数学建模 实践基地 当 时 因此，当 时，（4.12）式中 即 因此，在极限情况下所有同胞对或者是 （A,AA）型，或者是（a,aa）型。如果初始的父母体同胞对 是（A,Aa）型，即b0=1，而a0= c0= d0= e0= f0=0，于是，当 时 即同胞对是(A,AA)型的概率是2/3，是(a,aa)型的概率为1/3。 （正则链与吸收链） 根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的类型，这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：正则链与吸收链。 定义2 对于马氏链，若存在一正整 数K，使其转移矩阵 的K次幂MK0（每一分量均大 于0），则称此马尔链为一正则（regular）链。 定理2 若A为正则链的转移矩阵，则必有： （1）当 时， ，其中W为一分量均大于零 的随机矩阵。 （2）W的所有行向量均相同。 定理3 记定理 2中的随机矩阵W的行向量为V=(v1,…,vn),则： （1）对任意随机向 量x，有 （2）V是A的不动点向量,即VA=V, A的不动点向量是唯一的。 定义3 状态Si 称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的 第i 行满足：Pii=1，Pij=0（j≠i） 定义4 马氏链被称为 吸收链，若其满足以下两个条件： （1）至少存在一个吸收状态 。 （2）从任一状态出发 ,经有限步转移总可到达某一吸收 状态 根据定义3，例4.7中状态S4即 为一吸收链 * * 我们有多处对不连续变化的变量采取了连续化的方法，从而建立了相应的微分方程模型。但是由于以下原因： 第一，有时变量事实上只能取自一个有限的集合； 第二，有时采取连续化方法后建立的模型比较复杂，无法求出问题的解，从而只能求它们的数值解。也就是说，在建模时我们对离散变量作了连续化处理，而在求解时，又对连续变量作了离散化处理，使之重新变为离散变量。所以采取连续化方法的效果有时并不很好，因而是不可取的。 电子计算机的广泛应用为我们处理大量信息提供了实现的可能，这就十分自然地提出了一个问题，对具有离散变量的实际问题直接建立一个离散模型是否更为可取？本章介绍的几个模型就是基于这种想法建立起来的。 马氏链模型 随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本节将利用数学的 马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并讨论几个简单而又有趣的实例。 马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研究对象的状 态s(t)是不确定的，它可能 取K种 状态si(i=1,…,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时，时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，故马氏链研究的也是一类状态转移问题。 问题1：设某商店经营情况可能有三种状态：好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好（S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为Si，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），0≤pij≤1 关系既可用一转移矩阵表示 问题2 研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于系统之外四种状态，分别 以S1，S2，S3和S4表示这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中的磷以0.4的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统外的概率为 0.2；牧草中的含磷以 0.6的概率被牛羊吃掉而转换到牛羊体内，0.1的概率随牧草枯死腐败归还土壤；牛羊体中的磷 以0.7的概率因粪便排泄而还归土壤，又以自 身0.1的比率因屠宰后投放市场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下： 1 0 0 0 S4流失系统外 0.1 0.2 0 0.7 S3羊体含磷 0 0.6 0.3 0.1 S2牧草含磷 0.2 0 0.4 0.4 S1土壤含磷 i时段状态 S4 S3 S2 S1 i+1时段状态 状态转移概率 相应的转移矩阵 为： 且Sj+1=SjM 马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工 具是线性代数中有关矩阵的理论。 首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1） （I , j=1,…,n） （2） （i=1,…,n） 这样的矩阵被称为 随机矩阵。 常染色体遗传