复变函数第二章(第四讲).ppt

* * 1. 指数函数 2. 对数函数 3. 乘幂与幂函数 4. 三角函数和双曲函数 5. 反三角函数与反双曲函数 §2－3 初等函数 §2－3 初等函数 本节将微积分的初等函数推广到复变函数情形，给出基本初等函数的定义，研究这些基本初等函数的性质，并说明它的解析性。由此可以得到初等函数的相关性质。 1. 指数函数 指数函数的性质 定义 2.3.1 指数函数的概念 (3) 当I m (z)=0，即z=x ∈ R时， 注 此性质表明复指数函数是实指数函数的推广，因此我们可以简记 注 由此性质可得到Euler公式： 例1 例2 例3 周期性质是实变指数函数所没有的。 2. 对数函数 定义2.3.2 指数函数的反函数称为对数函数。即， 对数的概念 注 由定义知Ln z与 互为反函数。另一方面由 的周期性可知Ln z是多值函数 。 对数的表达式 证明 对数的主值支 对于多值函数，通常的研究方法是将其分支化，引入主值的概念。 对数函数的性质 注 由此性质可知，对数的主值 是实对数的推广。 的各个分支与主值 相差常数2πi的整数倍， 因此只须将 的性质弄清楚，就掌握了 的各个 分支的性质。下面仅讨论 的性质。 对于多值函数，复对数函数 保持实对数的某些运算性质： 值得注意的是下列式子并不成立: 例4 负数在复变函数中可以求对数,但是零不能求对数 3. 乘幂与幂函数 乘幂 定义2.3.3 ———－ 多值 ——一般为多值 —－－ q个值 例 解 (2) 当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致。 (1) 当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂意 义一致。 幂函数 定义2.3.4 幂函数的性质 w=zn 在整个复平面上或去掉原点的复平 面是单值解析函数. ① 单值性和多值性 w=zn的反函数 解析性 4. 三角函数和双曲函数 定义2.3.5 定义三角函数如下： 定义双曲函数如下： 正弦与余弦函数的性质 *