2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第8讲.pptVIP

共 57 页 第八讲　函数的奇偶性与周期性 (1)如果对于定义域内每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数；都有f(－x)＝f(x)，函数f(x)叫偶函数；奇偶函数的定义域关于原点对称(大前提)． (3)基本性质：在公共定义域上，两函数有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇÷奇＝偶，偶÷偶＝偶(分母不为零)． 奇函数的反函数是奇函数，奇函数的定义域包含0，则F(0)＝0. (4)图象特征：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于Y轴对称；反之亦然． (5)判定方法：首先看函数的定义域是否关于原点对称，若对称，再看： 2．(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的周期．如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期． (2)周期函数不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，则kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期，周期函数的定义域无上、下界． 考点陪练 1.对任意实数x，下列函数中的奇函数是(　　) A．y＝2x－3　　　　　　 B．y＝－3x2 C．y＝ln5x D．y＝－|x|cosx 解析：若f(x)＝ln5x， 则f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1 ＝－ln5x＝－f(x)． ∴函数y＝ln5x为奇函数． 答案：C 答案：B 4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，若f(1)＝2，则f(2007)＋f(2009)等于(　　) A．2009 B．2 C．2008 D．4 解析：令x＝－1，有f(－1＋4)＝f(－1)＋f(2)，即f(3)＝2＋f(2)，再令x＝－3，有f(－3＋4)＝f(－3)＋f(2)，即f(3)＋f(2)＝2，这样可得f(3)＝2，f(2)＝0，这样f(x＋4)＝f(x)周期为4，从而f(2007)＋f(2009)＝f(3)＋f(1)＝2＋2＝4，故选D. 答案：D 5．定义在R上的函数y＝f(x)具有下列性质： ①f(－x)－f(x)＝0；②f(x＋1)·f(x)＝1；③y＝f(x)在[0,1]上为增函数，则对于下述命题： ①y＝f(x)为周期函数且最小正周期为4； ②y＝f(x)的图象关于y轴对称且对称轴只有1条； ③y＝f(x)在[3,4]上为减函数． 正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 类型一　　判断函数的奇偶性 解题准备：1.定义法： (1)求定义域，看定义域是否关于原点对称． (2)判断f(－x)与f(x)的关系． (3)依据定义下结论：若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数；若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 2．定义等价形式判断： (1)若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数． (2)若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数． 此种解法适合对数形式函数的判断． 3．图象法：如图所示，如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 如图，如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 类型二　　函数的周期 解题准备：1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个常数T≠0，使得当x取定义域内的每一值时，都有f(x＋T)＝f(x)成立，那么函数y＝f(x)叫周期函数，非零常数T叫做f(x)的周期． 2．最小正周期：周期函数的周期可以不止一个，如果在所有的周期中存在着一个最小正数，则称这个最小正数为该函数的最小正周期． 3．设m是非零常数，若对于函数f(x)定义域中的任意x，恒有下列条件之一成立： (1)f(x＋m)＝－f(x)； [点评]　应注意应用奇偶性和周期性的定义． 类型三　　抽象函数的奇偶性与周期性的综合 解题准备：1.f(x)是偶函数且关于直线x＝a对称，则T＝2|a|； 2．f(x)是奇函数且关于直线x＝a对称，则T＝4|a|. [证明]　(1)令x＝y＝0，则有 2f(0)＝2[f(0)]2， ∵f(0)≠0，∴f(0)＝1. (2)令x＝0，则有 f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)， ∴f(－y)＝f(y)，这说明f(x)为偶函数． 类型四　　抽象函数的