大学数学概率论及试验统计第三版1-2.ppt

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率. 典型例题 六、小结 例2：求引例的概率。 解： 以x、y分别表示甲、乙二人到达的时刻。则 从而，所求概率为 例3：将长为m的线段任意折成三折，求所得三段 能构成三角形的概率。 解： 设所折三段长为x、y、m-x-y,则 0xm, 0ym, 0m-x-ym. 构成区域△OAB. 构成区域△CDE.从而 蒲丰投针试验 例4　1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提 出了投针试验问题.平面上画有等距离为 a(a0)的一些平行直线,现向此平面任意 投掷一根长为b( ba )的针,试求针与某一平行直线 相交的概率. 解 * §1.2 随机 事件的概率 一.事件的概率 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量 事件发生的可能性 越大，概率就 越大！ 用一个数来度量可能性的大小，这个数应该是事件 本身所固有的，可以在相同的条件下通过大量的重复试 验予以识别和检验；这个数还应该符合一般常情，可能 性大的事件用较大的数来度量，可能性小的事件用较小 的数来度量，可能性相等的事件用相同的数来度量。 事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1. 0≤P(A)≤1 我们用P(A)表示事件A发生的概率，则 事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0. （一）频率的定义 二、频率与概率 —概率的统计定义 事件A在n次重复试验中出现nA次， nA称为事件A 的频数，比值nA/n称为事件A的频率，记为fn(A). 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 （二）性质 n 试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 22 25 21 25 24 18 27 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 实验者 德 摩根 蒲 丰 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型如下所示: 　　自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的. 重要结论 　　频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于区间[0，1]上的某一个稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率，也叫做经验概率． 医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是幸运的．因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”　　 医生的说法对吗? 请同学们思考. 我们重点介绍的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为 古典概型 三、古典概型 —概率的古典定义 常常把这样的试验结果称为“等可能的”. 试验结果 e1, e2, …，eN 你认为哪个 结果出现的 可能性大？ 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球. 我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 称这样一类随机试验为古典概型. 2 且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 . S={1,2,…,10} , 则该试验的样本空间 如i =2 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型. 定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 对于古典概型，其样本空间S(Ω