大学数学概率论及试验统计第三版2-1.ppt

二、随机变量的概念 四、一维随机变量的分布函数 分布函数的性质 证明 * 第二章 随机变量的分布 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是 随机变量 §2.1 离散型随机变量的分布律 一、随机变量的引入 为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来. 1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之. 实例1 抛掷骰子,观察出现的点数. S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 恒等变换 且有 则有 实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色. S={红色、白色} 非数量 将 S 数量化 可采用下列方法 红色 白色 即有 X (红色)=1 , X (白色)=0. 这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了. 1.定义 根据随机试验的结果而确定取某一个数值的变量，称为一维随机变量。 由两个一维随机变量所确定的有序数组，称为二维随机变量。 而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等. 随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示 随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样. 2.说明 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究. 事件及 事件概率 随机变量及其 取值规律 研究随机事件，主要是研究它出现的概率。研究随机变量，主要是研究它在取值的范围内取某一个或某一些数值的概率： （1）要研究随机试验的全部结果，而不是孤立的研究随机试验中的某一个或几个随机事件； （2）除了初等数学的方法，还要引入高等数学的方法来研究随机试验。 解：分析 例1 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示. 当 0.15 X1000× 0.1时，报童赔钱 故{报童赔钱} {X 666} {报童赔钱} {卖出的报纸钱不够成本} 三、一维离散型随机变量及其分布 若一维离散型随机变量X所有取值为x1,x2,...对应的概率为 称之为随机变量X的分布律(或概率函数或概率分布)，通常列表为 可以取有限多个或无限可数多个数值的一维随机变量，称为一维离散型随机变量。 分布律的性质 （1） (非负性) （2） (归一性） 几种常见的一维离散型随机变量 1 两点分布(0-1分布): 记作 根据以上性质可以判断X的分布律是否正确。 例2 从含5件次品的100件产品中随机地取一件(取到100件中的任一件的可能性相同), 则X是随机变量, X?(0-1),其分布列为 在贝努利试验中，事件A在n次试验中恰好出现k次的概率： 设X为事件A在n次试验中出现的次数，则： 此时称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p). 当n=1时，二项分布就是两点分布. 2 二项分布 如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2，...且 其中 0是常数，则称X服从参数为 的泊松分布。 记为 或 3 Poisson分布（泊松分布） 当n很大，p很小时有 泊松分布的背景及应用 　　二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒),发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布. 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水