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五、二维连续型随机变量常用的分布 * §2.3 二维随机变量的分布 设二维离散型随机变量的所有可能取值为 一. 二维离散型随机变量的分布律 可以取有限多组或无限可数多组数值的二维随机变量,称为二维离散型随机变量。 则称其为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布或联合分布律。 且 直观上, 二维随机变量(X ,Y)的分布律也可以用表格来表示如图: 二维随机变量(X,Y) 联合分布 离散型 i, j =1,2, … X和Y 的联合概率函数 k=1,2, … 离散型 一维随机变量X k=1,2, … X的概率函数 例1 袋中装有四个球每个球上编号分别是1,2,2,3 .今随机从中一次取一球不放回的取两次,以X和Y分别记第一次和第二次所取球的编号,求(X ,Y)的分布律。 解 类似 , 依次计算 .可得( X , Y )分布律为 Y X 二、二维离散型随机变量常用的分布 1.超几何分布 如果 的分布律为 式中 ,则称 服从参数为 的超几何分布,记作 2.三项分布 如果 的分布律为 式中 ,则称 服从参数为 的三项分布,记作 三.二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义 (2) 分布函数的基本性质 且有 这些性质可以判断分布函数是否正确。可对照一维随机变量的性质加以理解。 + + 右 右 二维离散型随机变量的分布函数通常可以用作图法写出,可对照一维离散型随机变量的分布函数,确定指定区间,并求相应的概率。 解: 例2 已知 ( X , Y )的分布律。求: P{X+Y?1} Y X 四.二维连续型随机变量的分布密度 定义:对于xOy平面上的任一区域{(x,y)|a x ≤ b, cy ≤ d},如果存在一个在xOy平面上处处有 定义、非负、可积分的函数p(x,y),使 则称( X , Y )为二维连续型随机变量. 函数p(x,y)称为 (X,Y)的联合分布密度函数简称联合分布密度。 1、如果已知(X,Y)的分布密度p(x,y),则(X,Y)的分布函数 若p(x,y)在(x,y)连续,则有 2、G是xOy平面的任意区域,点(X,Y)落在G内的概率为 说明 性质 反之,具有以上两个性质的二元函数 p(x,y) ,必是某个二维连续型随机变量的密度函数。 表示介于 p (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1. 求:(1)常数A;(2) 分布函数F(x,y);(3) (X, Y)落在区域G:x?y内的概率。 例3. 设 解 (3) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 1.均匀分布 定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度 则称 ( X , Y ) 在 D 上服从 均匀分布. *
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