大学数学概率论及试验统计第三版2-4.ppt

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类似的问题如: 甲、乙两船同日欲靠同一码头,设两船各自独立地到达,并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时,乙船需停泊2小时,而该码头只能停泊一艘船,试求其中一艘船要等待码头空出的概率. 把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段,求它们可以构成三角形的概率. 长度为a 因为 X 与 Y 相互独立, 解 所以 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律. 例3 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 四、二维随机变量的推广 1.分布函数 * §2.4 随机变量相互独立 多维随机变量 离散型 分布函数 连续型 归一性 矩形概率 归一性 归一性 P{(X,Y)?G} 一、二维离散型随机变量的边缘分布律 对二维离散型随机变量(X,Y)而言,如果只研究其中的一个变量X或Y,而不管另一个变量取什么数值,那么称X或Y的分布律为(X,Y)关于X或关于Y的边缘分布律。 设二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律为 ( X , Y )关于Y的边缘分布律为 则( X , Y )关于X的边缘分布律为 写成表格形式: 写成表格形式: 计算过程可列表表示为: 例1 设袋中装有分别标有号码1,2,3的三个球,从中随机取一球,不放回袋中,再随机取一球,用X,Y分别表示第一次,第二次取得的球上的号码。试求 (X, Y)的联合分布及边缘分布。 Y X 解: 联合分布律 关于X的边缘分布为 关于Y的边缘分布为 解 例2 样本点 二、二维连续型随机变量的边缘分布密度 对二维连续型随机变量(X,Y)而言,如果只研究其中的一个变量X或Y,而不管另一个变量取什么数值,那么称X或Y的分布函数为(X,Y)关于X或关于Y的边缘分布函数。 由于随机事件{Xx}与{Xx,-∞Y+∞}等价,若(X,Y)的分布密度为p(x,y),则X的边缘分布函数 X 的边缘概率密度. 同理,Y的边缘概率密度 设(X, Y)~p(x, y), (x, y)?R2, 称随机变量X的概率密度为(X, Y)关于X的边缘概率密度;记作 解 例3 例4 解 由于 于是 则有 即 同理可得 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 二维正态分布和其边缘分布的关系 单击图形播放/暂停 ESC键退出 联合分布与边缘分布有何关系? 我们从讨论二维正态分布为例,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布。 一般地: 联合分布 边缘分布 确定 不一定 因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布. 三、两个随机变量相互独立 两事件A,B独立的定义是: 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 . 两随机变量独立的定义是: 对于随机变量X与Y及实数轴上的任意两个区间D1与D2,若随机事件 与 相互独立,则称X与Y相互独立。 可以证明: 定理2: 一些命题 定理1: 例1 设(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立? 解: x0 即: 对一切x, y, 均有: 故X,Y 独立 y 0 若(X,Y)的概率密度为 情况又怎样? 解: 0x1 0y1 由于存在面积不为0的区域, 故X和Y不独立 . 例2 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少? 解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60) 所求为P( |X-Y | 5) 及P(XY) 解: 设X为甲到达时刻, Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60) 甲先到 的概率 由独立性 先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟 的概率 解一: P(| X-Y| 5) =P( -5 X -Y 5) =1/6 =1/2 P(XY) 解二: P(X Y) =1/6 =1/2 被积函数为常数, 直接求面积 =P(X Y) P(| X-Y| 5) *

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