大学数学概率论及试验统计第三版4-1.ppt

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一、数学期望 重要概率分布的数学期望与方差 (3)设X,Y相互独立,则 方差的性质: (1)设C是常数,则D(C)=0 (2)设X是一随机变量,C是常数,则 只证明(3): 1. 两点分布 已知随机变量 X 的分布律为 则有 2. 二项分布 则有 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 3. 泊松分布 则有 所以 4. 均匀分布 则有 结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点. * 第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望与方差 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中,有些问题并不要求去全面地考察随机变量的取值规律,而只要求知道随机变量的某些取值特征就可以了。这一章里,主要讨论随机变量常见的数字特征:数学期望、方差和矩。 引例1 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平? 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果 相结合, 即 A、B 赌完五局, 分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: A A A B B A B B A胜两局 A胜B胜 B胜A胜 B胜两局 A 能“期望”得到的数目应为 而B 能“期望”得到的数目, 则为 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 X 的可能值与其概率之积的累加. 即为 若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 其概率分别为: 设甲、乙两个射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击,(命中的环数是随机变量).射中情况记录如下 引例2 射击问题 0.6 0.1 0.3 概率 10 9 8 甲射中的环数X 0.3 0.5 0.2 概率 10 9 8 乙射中的环数Y 谁的技术更好? 解 甲平均射中环数 甲的技术更好些。 乙平均射中环数 设两个射手各射N次,则他们打中靶的环数大约是: “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加 随机变量数学期望(均值)的定义: 若级数 不是绝对收敛,即级数 发散,称X的数学期望不存在。 关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数和积分的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. 随机变量 X 的算术平均值为 假设 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. 注意:并不是所有的随机变量都存在数学期望。 虽有 收敛。但 非绝对收敛,故X的数学期望不存在。 又如柯西分布 故X的数学期望不存在。 例 随机变量X 解 因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务. 例1 顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 试求顾客等待服务的平均时间? 随机变量的函数的数学期望: 设 (1) X为离散型随机变量,其分布率为 如果 绝对收敛,则有 (2) 设X为连续性随机变量,密度为p(x),如果积分 绝对收敛,则 例2 设X的分布列为: 求(1) 2X+1 ; (2) X2 的数学期望. 解: 二维随机变量数学期望的定义: 二维随机变量函数的数学期望: 为离散型时, 为连续型时, 例3 设随机向量的分布列为 X Y 求 的数学期望。 解: 例4 设(X,Y)的联合密度函数为 求 解: 性质1 设 C 为常数,则E(C)=C 数学期望的性质: 性质2 设X为随机变量,C为常数,则 E(CX)=CE(X) 性质3 对于任意的两个随机变量X,Y有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 性质4 设X,Y是相互独立的随机变量,则 E(XY)=E(X)E(Y) 只证性质3、4,且随机变量为连续的情形. 3.设(X,Y)的概

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