大学数学概率论及试验统计第三版4-3.ppt

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三、典型例题 四、小结 契比雪夫资料 伯努利资料 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 解 设 X 为一年中投保老人的死亡数, 由德莫佛-拉普拉斯定理知, 例3 保险公司亏本的概率 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 例4 根据独立同分布的中心极限定理, 由德莫佛-拉普拉斯定理知, 证 例5 根据独立同分布的中心极限定理, 两个大数定理 契比雪夫大数定理 伯努利大数定理   频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性. * §4.3 大数定律与 中心极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说,要从随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量随机现象. 研究大量的随机现象,常常采用极限形式,由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛,其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律 一、大数定律 问题提出及背景 在大量的随机试验中,事件的频率及大量测量值 的算术平均值都具有稳定性。 频率的稳定性: 则 —n次试验中A出现的频数 —A出现的频率 算术平均值的稳定性: 真值为μ, 为n次测量结果,我们知道 以严格的数学形式表述随机现象最根本性质之一: 平均结果稳定性的定理,统称为大数定律。他从理论上 指明了大量随机现象的统计规律性。 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… 1.契比雪夫不等式 证明 取连续型随机变量的情况来证明. 切比雪夫不等式 契比雪夫 得 由切比雪夫不等式可以看出,若 越小,则事件{|X-E(X)| }的概率越大,即随机变量X集中在期望附近的可能性越大. 由此可体会方差的概率意义: 它刻划了随机变量取值的离散程度. 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 如取 例1 已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700 . 利用契比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解:设每毫升白细胞数为X 依题意,E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P{ |X-E(X)| 2100} 由契比雪夫不等式 P{ |X-E(X)| 2100} 即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 . 例2 在每次试验中,事件A发生的概率为 0.75, 利用契比雪夫不等式求:n需要多么大时,才能使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90? 解:设X为n 次试验中,事件A出现的次数, E(X)=0.75n, 的最小的n . 则 X~B(n, 0.75) 所求为满足 D(X)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n) = P{ |X-E(X)| 0.01n} P(0.74n X0.76n ) 可改写为 在契比雪夫不等式中取 n,则 = P{ |X-E(X)| 0.01n} 解得 依题意,取 即n 取18750时,可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的 概率至少为0.90 . 2.契比雪夫大数定律 定理 若随机变量 相互独立,各个 的 及 都存在,且各 个

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