大学概率与统计第2节概率.ppt

一、事件的频率与概率 二、概率的公理化定义 三、概率的性质 四、古典概型 *五、几何概率模型 基本计数原理 则完成这件事共有 种不同的方法 . 2.乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, …, 第m个步骤有nm种方法. 特点：多步完成 例如, A地到B地有两种走法, B地到C地有三种走法, C地 到 D地有四种走法, 则 A地到 D 地共有 种走法. 特别, k = n时称全排列 排列、组合的定义及计算公式 1. 排列: 从n个元素中取 k个不同元素的排列数为： 阶乘 若允许重复, 则从n个元素中取 k个元素的排列数为： 注意 2. 组合: 从n个元素中取 k个元素的组合数为： 推广: n个元素分为s组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rs的分法总数为 例6 在11张卡片上分别写上 probability 这 11 个 字母，从中任取7 张，求其恰好排列成 ability 的概率. 假定字母b及i是可辨的， 解 古典概率计算举例 至少有两张同号的情况比较复杂，但它的反面即没有同号的概率比较容易求， 例7 某一副扑克牌13张黑桃，有放回取3次，求至少有两张同号的概率. 分析 解 例8 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从 0～9 这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率. 解 问： 错在何处？ 计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同. 从10个数字中取5个不同数字的排列 允许重复的排列 例9 在1?2000的整数中任取一数，求取到的数 （1）能被6或8整除的概率； （2）既不能被6也不能被8整除的概率； （3）能被6整除而不能被8整除的概率. 设A—取到的数能被6整除； 解 B—取到的数能被8整除. 例9 在1?2000的整数中任取一数，求取到的数 （1）能被6或8整除的概率； （2）既不能被6也不能被8整除的概率； （3）能被6整除而不能被8整除的概率. 练习 在1?10000的整数中任取一数，求取到的数能被4,5,6之一整除的概率. 解 转下页 例10 假设电话号码为8位数（第一位数不为0）， 解 引进事件： 则 易见 所以 例11 设有N件产品, 其中有M件次品, 现从这 N件中任取n件, 求其中恰有k件次品的概率. 这是一种不放回抽样, 称为超几何分布. 次品 正品 M件次品 N-M件 正品 解 思考: 若是放回抽样呢? 例12 全班有50个学生，问至少有两人生日相同的概率为多少？（设一年有365天） 解 事件总数: 有利场合数: 概率之大有点出乎意料. 从下表中可以看出, 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的. 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 有人同生日的概率 人数 例13 一个家庭中，若有两个孩子，问恰都是男孩的概率为多大？假定男女出生率相同. 解 以下解法是错误的: 样本空间取为{两男,两女,一男一女},所以 p = 1/3. 注意：在古典概型中，样本空间中的基本事件必须是等可能的. 错误在于样本点不是等可能的. 正确的解法是: 样本空间取为{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}. 所以 p = 1/4. 四只猫的性别 M：很容易作出错误的概率计算.这儿有两只猫已住在一起. 猫先生：亲爱的，我们的新房舍中有几只小猫？ 猫太太：你不会数呀？4只，你这个笨蛋. 猫先生：几只雄猫？ 猫太太：很难说，我也不知道呢. 猫先生：4只猫都是雄的不太可能. 猫太太：也不可能4只都是雌猫. 猫先生：也许只有1只是雄猫. 猫太太：或许只有1只是雌猫. 课外读物 M：猫先生的理由对不对？ 让我们来检验它的理论.用B表示雄猫,用G表示雌猫，这就很容易列出16种同等可能的情况. M：在16种中只有两种是所有猫都具有同样性别，所以，这种情况发生的概率是2/16,或1/8.猫先生认为这种情况具有最低概率是对的. M：现在,让我们检验一下2~2分配，猫先生认为这是可能性最大的一种. 这种情况有6次，所以其 概率是6/16，或3/8.这显然比1/8高.猫先生也许是对的. 猫先生：这也不是很难想出来的,亲爱的.每只猫是雄是