大学概率与统计课件.ppt

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若事件A1,A2,……An为两两互不相容 的事件,并且A1+A2+,……+An=Ω, 称A1,A2,……An构成一个完备事件组。 例1.2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)。试用事件的运算符号表示下列事件:三次都取到了合格品;三次中至少一次取到合格品;三次中恰有两次取到合格品;三次中至多有一次取到合格品。 解: 三次中全取到合格品:A1A2A3; 三次中至少一次取到合格品: A1+A2+A3; 三次中恰有两次取到合格品: 三次中至多有一次取到合格品。 例3 两封信随机地向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。 解:设事件A表示第二个邮筒只投入1封信。两封信随机地投入4个邮筒共有42种等可能的投法,而组成事件A的不同投法只有C21C31种。有古典概型公式 P(A)= C21C31/ 42=3/8 例 两人约定上午9:00——10:00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率。 解:设两人到达时刻分别为X、Y ,则 0≤X、Y≤ 60,事件一人要等另一人半小时以上等价于 如图阴影部分所示 练习 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜到达的时刻是等可能的,如果甲船的停泊时间是1小时,乙船的停泊时间是2小时,求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。 练习 对一个5人学习小组考虑生日问题: (1)求5个人的生日都在星期日的概率; (2)5人生日都不在星期日的概率; (3) 5人生日不都在星期日的概率。 解:(1)设A1表示5人生日都在星期日,基本事件总数75 ,有利事件仅1个,故 P(A1)=1/ 75 , (2)设A2表示5人生日都不在星期日,有利事件 65个,故P(A2)=65 / 75 (3)设A3表示5人生日不都在星期日, P(A3)=1- P(A1)=1- 1/ 75 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单, 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. * 定义: 设E是随机试验, Ω是它的样本空间, 对于 E的每一件事件A 赋予一个实数,记为P(A), 若P(A)满 足下列三个条件: 1. 非负性: 对每一个事件A, 有 2. 完备性: 3. 完全可加性: 对任意可数个两两互不相容的 事件 有 则称 P(A)为事件A的概率. * 1 特别地,当A与B互不相容时, * 4.减法公式 设A,B为两个随机事件,则 特别地, * 例1 设A,B为两个随机事件, 例2 设A,B为两个随机事件, 例3 设A,B互不相容, * * * 例4 设A,B,C是三个事件,且 求A,B,C至少有一个发生的概率. 解 已知 由 故 得 所求概率为 * * * * * 5.事件的差 从事件 中将属于事件 的基本事件除去,剩下的基本事件组成的新事件称为 和 的差事件,记为    . 事件 发生而事件 不发生 实例 设 C=“长度合格但直径不合格” ,A= “长度合格”,B= “直径合格”. * 事件 、 不可能同时发生 6.事件的互斥(互不相容) 若事件 和 没有共同的基本事件,则称 和 互斥,也称互不相容,记为        . 注意 基本事件是两两互斥的 . * 7.事件的逆(对立事件) 称必然事件 和事件 的差   为 的逆事件,记为  ,  如果 和 互逆,则也可称  和 互为对立事件 事件 不发生 实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点” 对立 * * 事件的运算规律 由集合的运算律, 易给出事件间的运算律. 设 为同一随机试验 中的事件, 则有 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 * (4) 自反律 (5) 对偶律 注: 上述各运算律可推广到 件的情形. 有限个或可数个事 * (6) 吸收律 (7) 替换律 * 例1.1 设A,B,C为3个事件,用A,B,C的运算式表示下列事件: (1) A发生而B与C都不发生: (2) A,B都发生而C不发生: (3) A,B,C至少有一个事件发生: (4) A,B,C至少有两个事件发生: (5) A,B,C恰好有两个事件发生: (6) A,B,C恰好有一个事件发生: (7) A,B至少有一个发生而C不发生: (8) A,B,C都不发生: * *

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