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第十章 线性回归和方差分析 §10.1 线性回归分析 * * §10.1.1线性回归模型 设x是普通变量,Y是随机变量,且 其中 是不依赖于x的未知参数, 称此模型为一元线性回归模型. (1)易见,此时 (2)称Y的期望: 为Y关于 x的回归函数. §10.1.2 参数的极大似然估计 若有观察值 ,似然函数 见Page 252 §10.1.2 参数的极大似然估计 对数似然函数求偏导数,得到似然方程: (Page252) 求解得: 其中, 此外: §10.1.2 参数的极大似然估计 最小二乘估计 注意到参数 的极大似然估计是使得 似然函数的指数部分 达到最小的估计,即使得该数据 对 估计 的偏差平方和达到最小. 最小二乘估计是使数据点到回归直线的 垂直距离平方和达到最小,如下图: 最小二乘估计 最小二乘准则的目标是使估计的偏差平方和(又叫残差平方和)达到最小.即: 例10.1 一化学反应过程的中间步骤是在一个大气压下进行的,反应的温度2℃到10 ℃,相应的得率数据如下,求得率y关于温度x的线性回归方程. 温度℃ 得率% 2 4 6 8 10 5 10 14 17 21 解:线性回归的计算可通过列表实现: 例10.1 2 4 6 8 10 4 16 36 64 100 5 10 14 17 21 10 40 84 136 210 代入公式 得: 例10.1 §定理10.1 §验证 独立 常数C *
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