大学概率统计教程第3章.pptVIP

第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 二维随机变量及其 分布函数 §3.1.1 二维随机变量 定义3.5 二维均匀分布 例3.10 例3.11 从1,2,3中任意取一个数,记为X,在从1到X 中任意取一个数,记为Y,求Y的分布律; 解: 显然 X和Y存在一 定的相关性. X给定以后,Y 仍然是r.v. 已知边缘分布律,条件分布律可写出联合 例3.11 X\Y 1 2 3 1 2 3 1/3 0 0 1/6 1/6 0 1/9 1/9 1/9 于是,P(Y=2)=1/6+1/9=5/18 定义3.8. 给定y，设对任意固定的正数h0，极限 存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数. 记作 类似地，可以定义 §3.3.2连续型随机变量的条件密度 定理3.9 设(X, Y) 的概率密度为f(x,y),则 §3.3.2连续型随机变量的条件密度 推论 条件密度为 §3.3.2连续型随机变量的条件密度 即：条件密度等于联合密度除以边缘密度 定理3.9 求X,Y的条件密度. 例3.12 例3.12 条件密度函数的定义域是什么? 例3.12 此时,求X的条件分布函数即为一般的问题: 已知一元密度函数,求分布函数; 例3.12 例3.12 例3.12 例3.13 例3.13 §3.4二维随机变量函数的分布 若二维离散型随机变量(X, Y)有联合分布 律： 则Z=g(X,Y)有分布律： P{X＝xi, Y＝yj}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 例3.14 (X, Y)有联合分布律 X Y 0 1 2 -1 0 1 1/12 2/12 2/12 1/12 1/12 0 2/12 1/12 2/12 求Z=X+Y,W=max(X,Y)的分布律. 注意:因为Z,W都是离散型随机变量,所以 先确定Z,W所有可能的取值,再考虑它们取 这些值的概率. 例3.14 X Y 0 1 2 -1 0 1 1/12 2/12 2/12 1/12 1/12 0 2/12 1/12 2/12 Z=X+Y所有可能的取值为:-1,0,1,2,3 下面考虑连续型,例3.15 设(X,Y)有密度函数 求Z=XY的密度函数. 解:此时Z是一个连续型随机变量,要求Z的密度函数,应首先求Z的分布函数. 问题:该分布函数需要分段吗?分几段? 例3.15 0 2 1 x y (1) 先画出xy=z (2)随着z的不同, 表示的区域是不同的. . . . z 由X,Y的有效定义域知,R(Z)=[0,2] 例3.15 0 2 1 x y . . . z 例3.15 0 2 1 x y . . . z 也就是说,Z的密度函数只在值域中不为0 总结方法 Z=g(X,Y)为随机变量X的函数，则求Z的密度函数的一般方法为： (1) 确定Z的取值范围z∈R(Z)； (2)求Z的分布函数,任取z∈R(Z)， FZ (z) =P{Z?z}=P {g(X,Y) ?z} = P { (X,Y) ∈G(z)} (3)分布函数求导数 设随机变量X，Y相互独立，其密度函数分别为 求随机变量Z=2X+Y的分布函数与密度函数。 例3.16 两个随机变量独立 定义3.6 F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的 二维分布函数, 分别为X,Y 的边缘分布函数,若对任意 有 则称X与Y独立. 定理3.4 设随机变量X,Y相互独立,且 与 分别是 的连续函数,则 定理3.4的证明(续) 随机变量独立与事件独立 事件独立是通过下式定义: 随机变量的独立是通过: 注意到: Y X §3.2.2 二维离散型随机变量 二维离散型随机变量的边缘分布 设(X,Y)是二维离散型随机变量,联合分布 简写为: 定理3.5 X与Y的边缘分布可由二维概率分 布求出,即 离散型随机变量的独立性 定理3.6 设(X,Y)是二维离散型随机变量, X与Y独立,等价于 (独立时联合分布等于边缘分布的乘积) 定理3.6的证明(续) 定理3.6的证明(续) 例.已知(X,Y)的分布律为 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边缘分布律，判断X,Y的独立性。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j 故关于X和Y的分布