大学概率统计教程第6章.pptVIP

第六章 极限定理 §6.1大数定律 贝努利大数定律 * * §6.1.1切比雪夫不等式 定理6.1 设随机变量X的数学期望与方差都存在，则对任意的 有 或者等价的形式 证：我们就连续型的情形证明； 切比雪夫不等式 可见，当E(X)，D(X)已知时，可对事件 发生的概率进行估计。 例6.1 例6.1 注：由于不知道X的分布，故本题只能采用且比雪夫不等式估计概率，如果X分布已知，估计的概率误差较大。但切比雪夫不等式在理论中有非常重要的应用. 随机变量序列的收敛性 定义6.1（依概率收敛）设 是随机变量序列，a是一个常数；若对任意ε0, 有: 则称 依概率收敛于a 记为： 定理6.2 随机变量序列 切比雪夫不等式的应用 若 存在，且 满足 证：由切比雪夫不等式 两边取极限即可 定理6.3（切比雪夫大数定律）对独立的随机变量序列 §6.1.2大数定律 （1） 都存在； 若满足 （2）方差有限，即存在常数 ，使得 则有 定理6.3 定理6.3 两个推论 推论1（独立同分布大数定律）设 则 注: 是独立的随机变量序列，且 推论2在n次贝努利试验中，事件A发生 且A发生的概率为 ，则 的频率为 证: 推论2 由推论1有 此定理说明了频率的稳定性。 例6.2 例6.2 例6.3 例6.3 课堂练习 §6.2 中心极限定理 定理6.4（林德伯格-列维）设随机变量序列 独立同分布，且 记 则对任意 ，有 定理含义（渐近正态性） 独立同分布的随机变量之和 将 标准化： 得到新的随机 变量 ， 的分布函数的极限函数是 标准正态分布。也就是说，可近似地认为： 独立同分布中心极限定理 独立同分布中心极限定理 * 则，且相互独立同服从于 分布 , 故 即 。