大学概率论与数理统计第二章.ppt

一.离散型随机变量的概念与性质 说 明 离散型随机变量可完全由其分布律来刻划． 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定． 例 1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值． 试求 X 的分布律． 解： X 的取值为5，6，7，8，9，10． 并且 例 2 将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差． 试求 X 的分布律． 解： X 的取值为-3，-1，1，3． 并且 例 3 设离散型随机变量 X 的分布律为 例 3（续） 例 4 设随机变量 X 的分布律为 二、一些常用的离散型随机变量 Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布． 例 5 15 件产品中有4件次品，11件正品．从中取出1件 令 X：取出的一件产品中的次品数． 则 X 的取值为 0 或者 1，并且 2）二 项 分 布 如果随机变量 X 的分布律为 说 明 显然，当 n=1 时 二项分布的概率背景 进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中 分布律的验证 ⑴．由于 例6 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？ 解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验， 例 6（续） 所以 二项分布的分布形态 由此可知，二项分布的分布 可以证明： 例7 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命 中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其 相应的概率是多少？ 解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令： 例7（续） 因此，最可能射击的命中次数为： 3）Poisson 分布 如果随机变量 X 的分布律为 分布律的验证 ⑴ 由于 Poisson分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一． 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布． 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的． 例 8 设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知 例 8（续） 得 例 9 例 9（续） 解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 } Poisson定理 证明： Poisson定理的证明(续) 对于固定的 k，有 Poisson定理的证明(续) 所以， Poisson定理的应用 由 Poisson 定理，可知 例 10 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计 算）． 解：设 B={ 600次射击至少命中3次目标 } 进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验. 例 10（续） 所以， 4）几 何 分 布 若随机变量 X 的分布律为 分 布 律 的 验 证 ⑴ 由条件 几何分布的概率背景 在Bernoulli试验中， 例 13 对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，令：X：所需射击次数． 试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率． 解： 例 13（续） 由独立性，得 X 的分布律为： 5）超 几 何 分 布 如果随机变量 X 的分布律为 超几何分布的概率背景 一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品．现从中取出 n 件． 令： X：取出 n 件产品中的次品数.则 X 的分布律为 为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现 有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生 故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保 证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01 ？ 解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为 X ，则 X~ B(300，0.01），需要确定最小的 N 的取值，使得： 例 11 查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配备 8 个工人。 设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法： 其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 例 12 解：按第一种方法.