倍长中线与截长补短法.pptVIP

求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：2AD ﹤ (AB+AC) 课题练习:中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 练习 已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF=2AD。 二、截长补短法作辅助线 要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。 截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。 所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。 让我们来大显身手吧！ 例如：已知如图6-1：在△ABC中，ABAC，∠1=∠2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。 思路导航 要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。 因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC 故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN 再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PNBN 即：AB-ACPB-PC。 * * 初中数学辅助线专题（辅助线口诀） 辅助线一般作法 初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB+AC2AD 分析：要证AB+AC2AD， 由图想到： AB+BDAD, AC+CDAD， 所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD， 左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD， 即加倍中线， 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE ∵AD为△ABC的中线 （已知） ∴BD=CD （中线定义） 在△ACD和△EBD中 BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等） AD=ED （辅助线作法） ∴△ACD≌△EBD （SAS） ∴BE=CA（全等三角形对应边相等） ∵在△ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB+AC2AD。 （常延长中线加倍，构造全等三角形） 证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在△APN和△APC中 AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC=PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有 PB-PNBN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP-PCAB-AC 证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM 在△ABP和△AMP中 AB=AM （辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△ABP≌△AMP （SAS） ∴PB=PM （全等三角形对应边相等） 又∵在△PCM中有：CMPM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-ACPB-PC。 * * *