论极限的思想方法.pdf

第2卷 第5期 广州大学学报(自然科学版) V01．2№．5 2008年10月 science 0ct．2003 Edi石on) Jol曲面0f(1埘咖】uTliversity(Natural 文章编号：1671-4229(2003)05．041m04 论极限的思想方法 吴振英，陈湛本 (广州大学理学院，广东广州510405) 摘要：追溯极限思想萌芽、发展、形成与完善的发展过程，拓展极限定义的深层涵义，剖析蕴涵在极限理论中 的辩证思想，阐述极限思想的意义和作用，最终说明了极限的思想方法在数学发展中的重要地位． 关键词：极限；辩证思想；数学 中图分类号：Ol一0 文献标识码：A 极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数 然而，人们当时虽在直观上对极限概念有了清 学发展史上占有重要地位，是研究数学、应用数学、 楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不 推动数学发展必不可少的有力工具．本文通过论述 可能用数学语言准确地描述出极限的概念，并且极 极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的 限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来． 应用来说明极限思想在数学中的重要地位． 这在某种程度上是由当时的经济状况和生产力水 平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范 1极限思想的发展过程 围内决定的． 1．2极限思想的发展 按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程， 17世纪以天文学、力学及航海为中心的一系 可将它分为4个阶段． 列问题导致了微积分的产生．微积分尽管在实践中 1．1极限思想的萌芽 十分成功，但它的思想基础——无穷小量在逻辑上 古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺 却有很多缺陷，被称为“逝去了量的鬼魂”，并由此 的“二分法”可以说是极限理论的雏形．在我国，极 直接导致了第二次数学危机．为了消除危机，许多 限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著 数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证 作《庄子·天下篇》中就引进了惠施的著名命题：“一 和说明的工具．于是，他们对极限思想进行了深入 尺之棰，日取其半，万世不竭”，它可以写成一个无 研究，其阶段性的主要成绩如下． 穷等比递减数列： (1)达朗贝尔“理性的”极限概念 ． 1 1 1 1 达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣”(马克思 ‘ 1’2’22’23’2n 语)，首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念 基础上．他认为“一个量永远不会重合，但它总是无 当，l无限增大(n=1，2，3，…)时，志可取无限 限地接近于它的极限，并且与极限的差要有多小有 小的数，它的极限为O，这样借助实物，极限的概念 便被形象地表述出来了．然而在我国最早创