第一届全国大学生数学竞赛(数学类)决赛试题与答案.pdf

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. ： 业 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 专 满 分 15 20 15 10 10 15 15 100 得 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2 、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 线 ： 级 年 得 分 一、（ 15 分）求经过三平行直线 L1 : x y z ， 评阅人 L2 : x − 1 y z + 1 ，L3 : x y + 1 z =− 1 的圆柱面的方程. 封 解： 先求圆柱面的轴L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是 ： 校 院 n (1,1,1) ， 且圆柱面经过点O(0,0,0) ， 过点O(0,0,0) 且垂直于n (1,1,1) 的平 在 所 π 面 的方程为：x + y + z 0 . …………………………… （3 分) 密 π 与三已知直线的交点分别为O(0,0,0), P(1,0, −1), Q(0, −1,1) ………… （5 分) 圆柱面的轴L0 是到这三点等距离的点的轨迹， 即 ： 号 ⎧ 2 2 2 2 2 2 x + y + z (x =− 1) + y + (z + 1) 证 ⎪ ⎨ ， 份 x 2 + y 2 + z 2 x 2 =+ (y + 1)2 + (z − 1)2 ⎪ ⎩ 身 即 x − z 1 ⎧ ⎨ ，…………………………………………… （9 分)