什么是概率与概率法则.pdf

什麼是機率與機率法則? 蔡聰 明 機率是機率論中的一個核心概念, 深奧 問題1: 銅板序列 (ξ ) 存在嗎? 說得更 n 而難纏。 丟一個公正銅板, 出現正面的機率是 具體一點, 能否建構一個機率空間 (Ω, F , P ) 1/2: 這絕不是說丟兩次銅板必出現一次正 並且在其上定義一列獨立、 同佈的隨機變數 (ξ ), 使得滿足 面, 也不是丟 10次銅板必出現 5 次正面。 甚 n 1 至也不是說: 當 n 越來越大時, 丟 n 次銅 P (ξn = 1) = = P (ξn = 0),∀n ∈ N ? 2 板必會出現 n/2 次正面。 大家都聽過一則笑 問題2: 機 率論 為何 要採用 「機 率空間」 話: 醫生 對患有癌症的病人說, 「我替病人 (Ω, F , P ) 之理型? 即為何 F 要取為 σ 代 開刀成功的機率是 1/10, 但是在你之前已有 數 ( σ-algebra), 不取為較接近常識的代數 9 位病人被我刀到命除, 你是幸運的第 10位, (algebra), 而 P 要取為具有可列加性 (σ- 因此你開刀必然成功」。 這是對機率作錯誤的 additivity), 不取為具有有窮加性 (finite- 解釋。 additivity)? 為了說明方便起見, 我們用隨機變數 銅板序列的存在性是沒有問題的, 而第二個 問題更深刻。 本文我們不預備討論它們。 1 令 Sn = n ξk , 這是一個隨機變數, 1 正面, 機率 k=1 ξ = 2 0 反面, 機率 1 表示丟 n 次銅板中出現正面的次數。 它具有 2 二項分佈 來表現丟一個公正銅板的實驗。 丟出正面就 1 1 k n−k P (S = k) = C ( ) ( ) . 報 1, 丟出反面就報 0, 此地 0 與 1完全是為了 n n k 2 2 點算正面的次數而設定的。 今將此銅板獨立 在 「談 Stirling 公式」 一文中 [5], 我們證 地一次接著一次丟下去, 令 ξn 表示第 n 次 明過: 將 「機率 1/2」 解釋為 「在丟 n 次銅 的可能結果, 於是就得到銅板序列 (ξ ) 。 這 板 中