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数学建模案例选讲教案 数学系 张运杰• 零件的参数设计 (1997 年全国大学生数学建模竞赛 A 题) 1. 问题重述 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定 值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离标定值 的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规 定为均方差的 3 倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两个方面因素：一是当各零件组装成产 品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的 大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。 粒子分离器某参数(记作y )由 7 个零件的参数(记作 x , x , …, x )决定，经验公式为 1 2 7 3/ 2 ⎡ ⎛ ⎞−0.56 ⎤ ⎛ ⎞1.16 x x 4 4 − ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ 0.85 1 2.62 1 0.36⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ x2 ⎥ x2 y 174.42⎛⎜⎜x1 ⎞⎟⎟⎛⎜⎜ x3 ⎞⎟⎟ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ x x −x x x ⎝ 5 ⎠⎝ 2 1 ⎠ 6 7 y 的目标值(记作y 0)为 1.50。当y 偏离y 0 ± 0.1 时，产品为次品，质量损失为 1000 元；当y 偏离y 0 ± 0.3 时， 产品为废品，质量损失为 9000 元。 零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为 A 、B 、C 三个等级，用与标定值的相对值表示， A 等为 ±1%，B 等为 ±5%，C 等为 ±10%。7 个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本(元) 如表 1 (符号 / 表示无此等级零件)所示。 表 1 各零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本 标定值容许范围 C 等 B 等 A 等 x 1 [0.075, 0.125] / 25 / x2