1959年至2016年历届IMO试题(不含答案).doc

第一届（1959年） 罗马尼亚 布拉索夫（Bra?ov，Romania） 1. 求证 对每个自然数 n 都是最简分数。（波兰） 2. 设，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： a)；b)A=1；c)A=2。（罗马尼亚） 3. a、b、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程 试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。（匈牙利） 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。（匈牙利） 5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形AMCD、 MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q，设这两个外接圆又交于 M、N。 a) 求证：AF、BC 相交于N点； b) 求证：不论点M如何选取，直线MN都通过定点S； c) 当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。（罗马尼亚） 6. 两个平面P、Q 的公共边为 p，A 为P上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D 分别落在平面P和Q上。（捷克斯洛伐克） 罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia，Romania） 1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且商等于N的各位数字的平方和。（保加利亚） 2. 寻找使下式成立的实数x：（匈牙利） 3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： 4. 已知从A、B引出的高线以及从 引出的中线长，求作三角形ABC。 5. 正方体ABCDABCD（上底面 ABCD，下底面 ABCD）。是对角线上任意一点，是BD上任意一点。 a 求中点的轨迹； b 求a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点的轨迹。 6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。 令 为圆锥的体积，为圆柱的体积。 a) 求证：不等于； b) 求的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角。 7. 一个等腰梯形的两底为a、c，高为h。 a) 在这个等腰梯形的对称轴上，找到所有的点P，使以P为顶点，且经过梯形腰的两个端点的角为直角； b) 计算P点到两底的距离； c) 判断在什么情况下P点确实存在。讨论各种情况。（保加利亚） 第三届（1961年） 匈牙利 维斯普雷姆（Veszprém，Hungary） 1. 设a，b为常数，解方程组 ，并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的正数。（匈牙利） 2. 设a、b、c为三角形的三条边，其面积为S。证明并说明何时取等号。（波兰） 3. 解方程，n是自然数。（保加利亚） 4. 设P是三角形P1P2P3内一点。直线P1P，P2P，P3P分别与其对边相交于Q1，Q2，Q3。证明数字至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。（民主德国） 5. 作三角形ABC满足AC=b，AB=c，且∠AMB=ω，其中M是线段BC的中点且ω90°。证明：当且仅当时可作出此三角形，并说明何时等号成立。（捷克斯洛伐克） 6. 三个不共线的点A、B、C在平面ε的同一侧；假设平面ABC不与平面ε平行。在平面ε上任取三个点A’、B’、C’。设L、M、N分别为线段AA’，BB’，CC’的中点，G为三角形LMN的重心（不考虑使L、M、N不能构成三角形的情况）。问：当A’、B’、C’各自变化时，G的轨迹是什么？（罗马尼亚） 第四届（1962年） 捷克斯洛伐克 捷克布杰约维采（?eské Budějovice，Czechoslovakia） 1. 找出具有下列各性质的最小正整数： 它的最后一位数字是 6如果把最后的去掉并放在最前面所得到的数是原来数的。 2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x： 3. 已知正方体ABCDABCD（ABCD、ABCD分别是上下底）。一点沿着正方形的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点以同样的速度沿着正方形BCCB的边界以方向 BCCBB运动。点、在同一时刻分别从点、B开始运动。求的中点的轨迹。 4. 解方程 。 5. 在圆上有三个不同的点、B、C。试在上再作出一点使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。 6. 一个等腰三角形，设为其外接圆半径，内切圆半径为，求证这两个圆的圆心的距离是。 7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。6. 五个同学A、B、C、D、E 参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同