3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示.pptVIP

3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示 平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示 x y o 复习： 在空间中，能得出类似的结论: 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 一、空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 都叫做基向量 （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确： （2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 x y z O Q P 由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 我们称 为向量 在 上的分向量。 这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解. 二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 x y z O A(x,y,z) e1 e2 e3 空间向量的坐标： 给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x是点A的横坐标，y是点A的纵坐标，z是点A的竖坐标. 已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ. B O A C P N M Q 空间向量基本定理的考查 例1 练习 在空间坐标系o-xyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 。 空间直角坐标的考查 空间向量运算的坐标表示 , 则 设 一、向量的直角坐标运算 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 二、距离与夹角的坐标表示 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。 在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、 　　　　，则 （2）空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式 注意： 　（1）当　　　　　　 时，　　　同向； 　（2）当　　　　　　 时，　　　反向； 　（3）当　　　　　　 时，　　　。 解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系　　　　，则　　　　 例1　如图, 在正方体　　　　　　　中，　　　 　　　　　，求　　与　　所成的角的余弦值.　　 证明: 设正方体的棱长为1, 建立如图的空间直角坐标系 x y z A1 D1 C1 B1 A C B D F E 小结： 1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键： 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。 * 例1答案 * 例1答案2 * 知识要点2 * 例3 * 例3答案 * 例3答案 * 例1答案 * 知识要点3 * 例1答案 * 例1答案2 * 知识要点2 * 例3 * 例3答案 * 例3答案 * 例1答案 * 知识要点3 已知,则 已知 则 3.中点坐标公式 已知 则线段的中点坐标为 证明：如图，不妨设正方体的棱长为1， 分别以、、为单位正交基底 建立空间直角坐标系， 例2如图，正方体中，，分别是，中点，求证： 则， 所以， 又，， 所以 所以， 因此，即 例3.在正方体, 分别是的中点,求证:. 证明：设,则, 例4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C