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第4部分：迭代-分形与艺术 《数学实验》. P* 一、图形迭代 什么是图形迭代 Koch 曲线 试想：Koch曲线的长度是多少？ 一、图形迭代 Koch曲线的实现： 一、图形迭代 Koch曲线的生成元 曲线的修改规则R是：将每一条直线段F0用一条折线F1替代, 称F1为该分形的生成元 分形的维数 设生成元由n条线段构成，每段长度为原线段长度的 1/m，则该分形的维数定义为： 一、图形迭代 Koch曲线的维数 想一想 : 分数维数有什么道理?分形维数大小反映了分形的什么特性? 分形的维数 在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。 分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。 1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 分形的维数 维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。 分形的维数 对一条线段，如果我们用?0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是?0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量直线它才会得到有限值呢？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，所以直线的维数为?1(大于0、小于2)。 对Koch曲线来讲，其整体是一条无限长的线折叠而成，所以，用小直线段量，其结果是无穷大；而用平面量，其结果是?0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与Koch曲线的维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于?1、小于?2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算Koch曲线的维数是1.2618……。 分形的维数 一般地，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，即有： ad=b，称为相似维数。d可以是整数，也可以是分数。 例如：假设线段、正方形和立方体，它们的边长都是1，将它们的边长二等分，即将原图的线段缩小为原来的1/2 ，则线段、正方形、立方体将分别被等分为21、22和23个相似的子图形。这里的1,2,3分别是线段,正方形和立方体的维数。 分形的维数 一般地，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，即有： ad=b，称为相似维数。d可以是整数，也可以是分数。 对Koch曲线，把原图形（直线段）缩小为1/3的4个图形（直线段）组成，因此，Koch曲线的维数d 满足：3d=4，即d=Log34=1.26 分形图片》 思考、练习 从一个单位边长的正三角形出发，用Koch曲线的生成元做迭代得到的极限图形称为Koch 雪花曲线。即将每一条边三等分，再以每一条边的中间一段为边，向外作等边三角形，然后再对每一条边重复这样的操作，如此下去产生的图形。下面是迭代次数n=3的情况。 编程画出Koch雪花曲线。 试计算Koch雪花曲线的边长及面积。 观察Koch曲线是否光滑（即每一点是否有切线存在）。 二、什么是分形 1. 谁创立了分形几何学 20世纪有四项发明、发现足以影响后世：相对论、量子论、分形、混沌；其中，前两项属于物理，后两项属于数学。 美籍法国数学家B.B.Mandelbrot（曼德尔布罗特，生于1924年）于本世纪70年代中期开创了分形几何（fractal??geometry）;以其在1975年发表的《分形：形、机遇和维数》论文为标志。 B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科---分形(Fractal) (英国的海岸线长度是多少？这竟然和Koch曲线的长度的计算方法相同) 严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。（Mandelbrot在1986年提出的定义是：分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。原文是：A fractal is a shape made of parts similar to the? whole in some way.)