系数微风方程.ppt

5.5.1 常系数齐次线性微分方程 5.5.1 常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 2.当 3.当 小结: 一、 例5. 例6. 二、 第一步 第二步 求如下两方程的特解 第三步 求原方程的特解 第四步 分析 例8. * 5.5.2 常系数非齐次线性微分方程 5.5 高阶常系数线性微分方程 5.5.3 小结 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 和它的导数只差常数因子, ，并代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1.当 时,②有两个相异实根 则方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ① 所以令①的解为 ② 其根称为特征根. 时,特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 (u(x)待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取u=x,则得 因此原方程的通解为 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用叠加原理,得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 例1 求微分方程 的通解. 所以通解为 例2 求方程 的通解. ， . 解 容易写出其特征方程为 得其特征根为 解 因特征方程为 故得特征根为 ， . 所以通解为 例3. 的通解. 解:特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例4. 解:特征方程: 特征根 : 原方程通解: (不难看出,原方程有特解 一、 5.5.2 常系数非齐次线性微分方程 二、 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理,其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 的特殊形式, 这里? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 代入原方程 , 得 次多项式 . (1)若? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 为 次待定系数多项式 (2)若?是特征方程的单根, 为m次多项式, 特解形式为 (3) 若?是特征方程的重根, 是m次多项式, 特解形式 小结 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当?是特征方程的k重根时, 可设 特解为 的一个特解. 解:本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数,得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步 将 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 转化为 利用欧拉公式将 变形为 是特征方程的k重根(k=0,1), 故 等式两边取共轭: 为方程③的特解 . ② ③ 设 则②有 特解: 利用第二步的结果, 原方程有特解 原方程 均为m次多项式 . 因 均为 次实多项式 . 本质上为实函数, 例7 的一个特解 . 解: 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数,得 于是得一个特解 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数,得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根, 故设非齐次方程特解为