5.5第二类曲面积分.pptVIP

第十章习题课 六、小结 1、物理意义 2、计算时应注意以下两点 曲面的侧 “一投,二代,三定向” 作业提示：注意二、三题利用性质4简化计算 思考题 思考题解答 此时 的左侧为负侧， 而 的左侧为正侧. 练习 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 停 * 5.5 对坐标的曲面积分 一 基本概念 二 概念的引入 三 概念及性质 四计算法 五 两类曲面积分之间的关系 六 小结 一、基本概念 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面的侧 曲面的分类: 典型双侧曲面 1.双侧曲面：在光滑的曲面 上任取一点M0，过M0作曲面 的法向量，它的指向选择有两种，选定一个方向为正。当动点M从定点M0出发在曲面 上连续移动（不越过边界）时，法向量也连续变动，当动点M沿着曲面 上任意一闭曲线又回到M0时，法向量的方向不变，则称此曲面为双侧曲面。否则称为单侧曲面。 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 播放 2.单侧曲面. 我们规定曲面上法向量的指向为曲面的正向,法向量的相反方向为曲面的负向, 如果曲面是封闭的,则指向外侧的法向量方向为曲面的正向,指向内侧的法向量方向为曲面的负向 具体地说就是 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. 1. 分割 则该点流速为 . 法向量为 . 2. 求和 3.取极限 三、概念及性质 存在条件: 组合形式: 物理意义: 性质（可加性、方向性、垂直性） 3.若 ， 简化计算中常用 四、计算法 以计算 为例 讨论计算法 前侧正，后侧负 右侧正，左侧负 说明:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 解 取下侧 取上侧 例2 3 1 1 求出曲面在坐标面的投影区域（一投） 对被积函数作好变量替换（二代） 由曲面的侧向确定积分的正负（三定向） 将Ⅱ型曲面积分化为在投影区域上的二重积分。 计算Ⅱ型曲面积分方法1之 步骤： 五、两类曲面积分之间的联系 两类曲面积分之间的联系 例５ 解 将II型曲面积分转 换成I型曲面积分 在有向曲面Σ上取一小块 曲面 (1) 流速场为常向量 ,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量 (假定密度为1). 设稳定流动（即速度与时间无关）的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 . 把曲面Σ分成 小块 ( 同时也代表第 i小块曲面的面积),在 上任取一点 , 该点处曲面Σ的单位法向量 , 通过流向指定侧的流量的近似值为 通过Σ流向指定侧的流量 定义 设Σ为光滑或分片光滑的有向曲面,向量值函数在Σ上有定义且连续,把 Σ分成 块小曲面 (同时又表示第 块小曲面的面积),任取一点,作点积 其中是曲面在点处指向给定侧的单位法向量,作和式 若不论曲面Σ怎样划分,点在上怎样选取,当各小块曲面的直径的最大值时, 当在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在. 1.设积分曲面Σ是由方程所给出的曲面上侧,Σ在面上的投影区域为,函数在上具有一阶连续偏导数,被积函数在Σ上连续. 例1 计算 其中Σ是球面外侧 在的部分. 设有向曲面Σ是由方程给出,Σ在面上的投影区域为 , 函数在 上具有一阶连续偏导数, 在Σ上连续. 对坐标的曲面积分为 曲面Σ的法向量的方向余弦为 对面积的曲面积分为 所以 (注意取曲面的两侧均成立) 设为球面，若以其球面的外侧为正侧，试问之左侧（即轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么的左侧是正侧吗？ 一、设S为球面的外侧，计算. 解：记S+、S—分别为球面S位于面的上面部分和下面部分，则 . 二、计算，S为椭球面的上半部分下侧. 解：= ， 由对称性知，， 因此，. 三、计算，S为球面的上半部分上侧. 解： ， 类似地，有， ， 因此， 四、设S为平面与三个坐标面所围立体的表面的外侧，计算. 解：