8、等价无穷小替换及洛必达法则.pdf

等价无穷小替换及洛必达法则 等价无穷小及相关极限运算 无穷小的比较 2 2 1 例如，当x0时，x,x ,sinx,x sin 都是无穷小，观察各极限： x 2 lim 0,x 比3x要快得多;x 2 x0 3x sinx lim 1,sinx与x大致相同; x0 x 2 1 x sin 1 lim x limsin 不存在.不可比. 2 x0 x x0 x 极限不同, 反映了趋向于零的 “快慢”程度不同. 定义: 设, 是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0  (1)如果lim = 0,就说是比高阶的无穷小,记作 = o();   (2)如果lim C(C0),就说与是同阶的无穷小;   特殊地如果lim = 1,则称与是等价的无穷小，记作 ~;   （3）如果 就说 是 的 阶无穷小。 lim C(C0,k0),  k k  例1 3 证明:当x0时,4xtan x为x的四阶无穷小. 例2 当x0时,求tanxsinx关 x的阶数. 常用等价无穷小:当x0时, （1） ～ ； （2） ～ ； （3） ～ ； sinx x arcsinx x tanx x （4） ～ ； （5） ～ ； （6） x ～ arctanx x ln(1x) x e 1 x 2 x （7） ～ （8）  ～ （9） x ～ 1cosx (1x) 1 x a - 1 lna*x 2 用等价无穷小可给出函数的近似表达式:   lim 1,lim 0,即 o(), 于是有 o().   1 1 2 2 例如sinxxo(x),cosx1 x o(x ). 2 等价无穷小替换      定理 设~ , ~且lim 存在, 则lim lim .                 