线代第一节.ppt

证明下三角行列式 对角线上(下)方 的元素全为零。 例4（教材P4例3） 证 D中可能不为0的项只有 此项的符号 ，所以 nn t a a a L 22 11 ) 1 ( - 3. 列顺序表示法： 结论 调换行列式的乘积项中两元素的次序，行 标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。 下面给出结论的证明。 (补充) 证 设有乘积项 对换元素 后，得 由于 的奇偶性相反， 的奇偶性也相反， 故 有相同的奇偶性。 利用这个结论，可以给出行列式的列顺序表示法。 结论 调换行列式的乘积项中两元素的次序，行 标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。 定理2 (列顺序表示法) n 阶行列式也可定义为 其中 s 为行标排列 的逆序数。 证 由定义，有 ， 记 。 易知对于D中任一项 ，在D1中 总有且只有一项与其对应并相等，反之亦然。也 即D与D1中的项一一对应并相等，从而 D= D1。 定理2 (列顺序表示法) n 阶行列式也可定义为 其中 s 为行标排列 的逆序数。 1. 在6 阶行列式中， 的项应带什么符号？ 2. 证明 若行列式中有一行（或一列）元素全 为0，则行列式等于0。 3. 证明：在一个 n 阶行列式中，如果等于零的元 素个数大于 ，那么这行列式等于零。 证 对 的任一个排列 来说，必然有一个排列 与之对 应（后者仅是由前者将 对换而得），若其 中一个为偶排列，另一个必然为奇排列，反之亦 然，故在全部排列中，奇偶排列两两配对，从而 奇偶排列的个数必然相等，各为 。 □ 4. 证明：在所有 n 个元素的排列中，奇偶排列 各占一半。 §3 行列式的性质 本节介绍行列式的性质，这些性质在行列式的 理论和计算中将经常用到。 记 称 是D的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 证 记 则有 故由定理2知 即 的转置行列式为 □ ) ( ij a D D = 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 以后记 注：此性质表明行列式中的行与列具有同等地位，行列式的性质对行成立的，则对列也成立，反之亦然。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 把 交换两行后所得的行列式记为 即当 证明 于是 注意，其中 为自然排列，而 t 为 排列 的逆序数。若记排 列 的逆序数为 ， 则 有 。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此 行列式为零。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一数，等于用数乘此行列式。 推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子 可以提到行列式符号外面。 记 本讲小结 一些概念： 逆序、逆序数、奇(偶)排列、对换、相邻对换。 主要结论： 排列的逆序数的计算； n 阶行列式的定义: 对角行列式、三角行列式的结论。 行列式的列顺序表示法: 对换改变排列的奇偶性； · 调换行列式的乘积项中两元素的次序，行 标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此 行列式为零。 性质2 互换行列式的两行（