线性代数1.4-1.5.ppt

例5 计算 4阶行列式 解 例6 设 证明 证明 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为 对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ， 把 D 化为下三角形行列式 故 例7 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0. 解 以此递推有 计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值． 三、小结 行列式的6个性质,对行列式的行与列都成立。 计算4阶行列式 思考题 思考题解答 解 一、对换的定义 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 §4 对换（Exchange） 二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 先证相邻对换的情形，设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 再证一般对换情形，设排列为 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列 的逆序数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 证明 略 §5 行列式的性质 一、行列式的性质 行列式 称为行列式 的转置行列式 (Transpose Determinant ). 若记 ，则 . 记 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 根据行列式的定义，有 若记 ，则 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 验证 于是 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 ，所以 . 备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作 . 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式. 验证 我们以三阶行列式为例. 记 根据三阶行列式的对角线法则，有 备注：第 行（列）乘以 ，记作 . 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 备注：第 行（列）提出公因子 ，记作 . 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 证明 性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和： 例如 例 我们以三阶行列式为例. 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 备注：以数 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作 例如 则 例 我们以三阶行列式为例. 记 解 根据性质4 此行列式 的值为0 计算行列式常用方法： 定义法； 利用行列式性质将行列式化为上三角形行列式， 从而算得行列式的值。 3.以数 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作 1.交换第 行（列）和第 行（列），记作 . 2.第 行（列）乘以 ，记作 . 第 行（列）提出公因子 ，记作 . 例１计算行列式 二、应用举例 解 例2 计算 阶行列式 解 例3 计算 4阶行列式 解 例4 计算 阶行列式 解