线性代数同济大学出版社第五版第一章行列式.ppt

内容提要 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则 一、引言 结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示. 思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？ 例如 把 称为元素 的代数余子式． 在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 . 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. 引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 即有 又 从而 下面再讨论一般情形. 分析 当 位于第1行第1列时, （根据P.14例10的结论） 我们以4阶行列式为例. 思考题：能否以 代替上述两次行变换？ 思考题：能否以 代替上述两次行变换？ 答：不能. 被调换到第1行，第1列 二、行列式按行（列）展开法则 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 同理可得 例（P.12例7续） 证明 用数学归纳法 例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 所以n=2时(1)式成立. 假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行 减去前行的 倍： 按照第1列展开，并提出每列的公因子 ，就有 n?1阶范德蒙德行列式 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 分析 我们以3阶行列式为例. 把第1行的元素换成第2行的对应元素，则 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 综上所述，有 同理可得 例 计算行列式 解 经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. 所以，在一系列对换之后有 定理2 n 阶行列式也可定义为 定理3 n 阶行列式也可定义为 例1 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项. 解 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项. 行标和列标的逆序数之和 所以 不是六阶行列式中的项. 例2 用行列式的定义计算 解 1. 对换改变排列奇偶性． 2. 行列式的三种表示方法 三、小结 §5 行列式的性质 一、行列式的性质 行列式 称为行列式 的转置行列式. 若记 ，则 . 记 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 根据行列式的定义，有 若记 ，则 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 验证 于是 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 ，所以 . 备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作 . 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式. 验证 我们以三阶行列式为例. 记 根据三阶行列式的对角线法则，有 备注：第 行（列）乘以 ，记作 . 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 备注：第 行（列）提出公因子 ，记作 . 验证 我们以4阶行列式为例. 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如： 则 验证 我们以三阶行列式为例. 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 则 验证 我们以三阶行列式为例. 记 备注：以数 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作 . 例１ 二、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值