线性代数习题课.ppt

{PAGE} 证明5: 设是数域中互不相同的数， 内容 提要 将第列倍加到第 列,第列的 倍的加到第 再把得到的行列式按照第2行(或按第1列)展开 计算11：用克莱姆法则解下列方程组 除去副对角线上所有元素乘积为奇数 其余各项都至少有一个副对角线下的元素作为因子， 而副对角线下的元素都是1982的方幂，故为偶数， （因为副对角线上的元素为） 证明3:证明 证明4:证明 由于它的系数行列式是一个范德蒙行列式， 3 4 5 11 其中。 二、三阶行列式 线性代数 第一章 阶行列式 内容提要 习题课 典型例题 线性代数 内容提要 典型例题 克莱姆法则 行列式按行(列)展开 行列式的性质 n阶行列式 排列 二、三阶行列式 典型例题 ?证明题 计算1解 计算2求的值。 解：由于 它是行列式中第二列元素与第四列对应元素的代数余子式的乘积之和， 故有展开式定理得 计算3解：从第一行提出1，第二行提出2，…第n行提出n， 得 此式为n阶范德蒙行列式，则 计算4的根 解：把第一行乘-1后加到其余各行得 所以的根为。 计算5解：将按第一行展开 当，有 计算6 解： 当时 当时,将D的第一列乘-1后加到其余各列,则 故 计算7 同理可得 由递推公式可得 解：按第一列展开行列式, 得递推公式 计算8：计算行列式 解： 列， 以此类推，……第列的倍加到第列,可把 原行列式化为 计算9：计算行列式 此行列式除对角线元素以外全是2， 解： 从第1列、第3列一直到最后一列中减去第2列， 可得一对角行列式(下三角行列式). 计算10：已知5阶行列式 求和 由已知可得 解： 解方程可得 计算11：用克莱姆法则解下列方程组 方程的系数行列式为 解： 故原方程有唯一解为： 方程的系数行列式为 解： 故原方程有唯一解为： 证明： 由于为中三个不同的数, 就是说，在的展开式的每一项中至少有一个因子零， 除去符号的差异外，行列式的一般项可表示成。 而且都是零。 证明2:证明以下的1981 阶行列式不等于零 在这个行列式的展开式中 证明： 从而 不能为零. 其中为的任意一个排列， 取到中的一个数. 故至少要 从而的每项都是零，故 证明3:证明n 阶行列式 其中，并且 先用乘第一行后加到其余各行， 证明： 再用乘各列后都加到第一列，得 当时，有 证明： 结论成立，假设对成立，下证对n成立 将按第一列展开，有 由归纳法假设 故得 从最后一列开始，每列都减去前一列， 证明： 然后将第一行加到其余各行，得 证明：存在唯一的数域上的次数小于n的 是数域中任一组给定的数。 多项式，使得. 考虑方程组 证明： 则多项式次数显然小于， 从而由克莱姆法则知，方程组有唯一解，设其解为 而且有，又由于此方程组解的 多项式显然也是唯一的。 唯一性知， 而且由于 互不相同, 因此，系数行列式不等于零。 证明1:仅用行列式的定义证明 ?计算题 2 1 3 4 5 6 2 1 3 综合练习 综合练习 ?填空题 ?单项选择题 2 1 3 4 5 6 7 8 2 1 3 4 5 6 7 8 综合练习 7 8 9 10 11 填空1 行列式 解答：0。 填空2 行列式 解答：0。 填空3 排列987654321的逆序数是 . 解答：36 填空4 五阶行列式中的符号为 . 解答：负号 填空5 行列式 解答：. 填空6 方程的根 . 解答：1, -2, 2 填空7 设四阶行列式 解答：0 则 填空8 解答： 行列式 单选1 解答：A （A）0（） （）（）单选2 （A）7 （B）2（C）0 （D）-20 解答：C 单选3 解答：A 行列式 （A）（B）（C） （D） 单选4 解答：A 中项的系数为 . （A） （B）（C）（D）单选5 解答：B 若为的三个根，则行列式 单选6 解答：B 若齐次线性方程组 只有零解，则应满足的条件是______. （A）（B）（C）（D）单选7 解答：B 多项式 的根的个数为 ______. （A）1 （B）2（C）3 （D）4 单选8 解答：B n阶行列式 则A的全部代数余子式之和等于 _____. （A） （B）（C）3 （D）习题课结束 由自然数1,2,…,n构成的不重复的全排列称为n 元排列， 元排列的集合记为 An ,An 中含有n！个排列. 排列中的每个数称排列中的元素， 一切n 排列 n阶行列式 n阶行列式简记为，数称为行列式的第i行j列的元素。 行列式的性质 1、行列式转置后，其值不变. 2、互换行列式的两行(列)，行列式变号. 推论：行列式有两行(列)完全相同，行列式为零 3、行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数 乘此行列式. 推论：行列式