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线性代数知识点 行列式 定义： 逆序和逆序数：对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同个的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。(p5) n阶行列式：设有个数，排成n行n列的数表 ， 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（），得到形如 （1） 的项，其中为自然数1，2，...，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（1）式的项共有n！项。所有这n！项的代数和 称为n阶行列式，记作 D=， 简记作det（），其中为行列式D的（i,j）元。(p6) 余子式：在n阶行列式中，把（i，j）元所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元的余子式，记作。（p16） 代数余子式：记=，叫做（i，j）元的代数余子式。（p16） 定理： 一个排列中个任意两个元素对换，排列改变奇偶性。（p8） 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。 n阶行列式也可定义为 其中t为行标排列的逆序数。（p9） 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 （p17） 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 （p19） 如果线性方程组（1-1）的系数行列式,则（1-1）一定有解，且解是惟一的。 4’.如果线性方程组（1-1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 （1-1） （1-2） 如果齐次线性方程组（1-2）的系数行列式，则齐次线性方程组（1-2）没有非零解。 5’.如果齐次线性方程组（1-2）有非零解，则它的系数行列式必为零。 性质： 行列式与它的转置行列式相等，即=。（p9） 互换行列式的两行（列），行列式变号。（p10） 腾讯体育推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。（p10） 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此???列式。（p10） 推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。（p10） 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。（p10） 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和。（p10） 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。（p11） 代数余子式： 或 其中 （p20） 引理： 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素出（i,j）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即 （p16） 克拉默法则： （1-1） 如果线性方程组（1-1）的系数行列式不等于零，即 ， 那么，方程组（1-1）有唯一解 其中是系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式。 矩阵及其运算 定义： 矩阵：由个数排成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵，简称矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作 , 这个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i，j）元，以数为（i,j）元的矩阵可简记作（）或。矩阵A也记作。 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 行数与列数都等于n 的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶矩阵A也记作。 只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果A与B是通行矩阵，并且它们对应的元素相等，那么就称矩阵A与矩阵B相等。 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。（p29） 系数矩阵：n个变量与m个变量之间的关系式 （2-1） 表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数，线性变换的系数构成矩阵A=。系数所构成的矩阵称为系数矩阵。（p31） 单位矩阵：线性变换 叫做恒等变换，它对应一个n阶方阵 叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（主对角线）上的元素都是1，其他元素都是0。即单位阵E的（i，j）元为 。（p31） 对角矩阵：线性变换 对应n阶方阵 这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0。这种方阵称为对角矩阵。简称对角阵。对角阵也记作 。 矩阵的加法：设有两个矩阵和，那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B，规定为 应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵