线性代数第一章2.ppt

* 1.2 行列式的定义 一元一次方程 ,当 时，有唯一解 二元一次方程 ,当 不全为零时，有无穷多 解 。 一组有序的数 ，当 时，代入方程等式成立，即 ，则称 为方程的解， 例如： 有无穷多个解为： 其中t为任意常数。 由中学数学知道： 1. 2. 解的全体称为解集合。 解集合为: 二元一次方程组 若 为方程组中每个方程的解，则称 为该方程组的解。 二元一次方程组的解具有的情况是： 例如： 唯一解 3. 唯一解、无解、无穷多个解. 无解 无穷多个解 解只有这三种情况吗？ 方程 在直角坐标系Oxy平面上的图形为一条直线， 故又称为两个变量的线性方程 不全为零时 又如 类似， 称为三个变量的线性方程 更一般的， 称为n个变量的线性方程， 其中 为变量。 线性方程就是变量次数都为一次的方程哦 例如： 是 不是 n元一次方程组： 由线性方程构成，故又称为线性方程组， 系数 常数项 本章我们主要讨论方程个数和变量个数相等的线性方程组的求解问题。 变量或未知量 这类方程总可以用消元法来求解，但是消元法没有一个统一的公式，而解的统一公式在很多情况下有很重要的意义（就像一元二次方程公式解的作用），因而有必要寻求该类线性方程组的公式解，下面从2、3元方程组开始来推导一般方程组的公式解。 利用消元法可以得到： 这就是二元线性方程组的公式解，但是非常不易记忆，为了便于记忆，需引进新的记号 引进记号： 并规定： 例如： 称 为二阶行列式， 主对角线 副对角线 根据二阶行列式的定义，公式解中的分子可以有记号： 于是当 时上述方程组有简洁公式解为： 主对角线上的乘积－副对角线上的乘积 例：求解线性方程组 解： 因为二阶行列式 并且 所以 对于含有三个方程、三个未知量的线性方程组 利用消元法，可以得到 把 的系数记为 ， 则当 时，有： 类似可以解得： 这些就是三元线性方程组的公式解，同样非常不易记忆，为了便于记忆，需引进新的记号 为此，引进三阶行列式： 并规定： 这么复杂，很难记住的呀 可以根据对角线法则来记忆，主对角线方向符号是正的，副对角线方向符号是负的。 ＋ ＋ ＋ － － － 现在分别用方程组的常数项来代替D的第1列、第2列、第3列得到： 按照三阶行列式的规定，可以发现三者恰为消元法得到的 分子， 故当D≠0时，三个未知量的线性方程组有简洁的公式解： 例：求解线性方程组 解： 所以， 通过引进二阶行列式和三阶行列式，前面给出了2个未知量和3个未知量的线性方程组简洁的公式解，对于含有n个未知量的线性方程组, 从形式上，n阶行列式肯定有： ＝ 现在的问题就是如何定义n阶行列式 我们想当然的会考虑，通过定义一般的n阶行列式，来给出它的公式解。 二阶、三阶行列式都有对角线法则，是不是n阶行列式也有呢 注意：四阶以上行列式没有对角线法则。 为给出n阶行列式的定义，首先分析一下二阶、三阶行列式， 它们有如下共同特征： (1)二阶是2!=2项的代数和，三阶是 3!=6项的代数和； (2)它们的每一项都是不同行不同列元数的乘积，并且包含了所有可能的不同行不同列元素的乘积， 除符号外，二阶的项可写成： 三阶的项可写成： 三阶行列式每一项的符号为 “+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列） (3) 二阶行列式每一项的符号为 “+” 12 （偶排列） “-” 21 (奇排列） 称为n阶行列式。 它是所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积 的代数和，共有n！项， 于是： 将其推而广之，n 阶行列式有定义 ， 每项都冠以符号： 定义1.2.4： n2个数 aij（i=1,2,…,n)组成的记号: 即： * *