线性代数第一章1-3节.ppt

线 性 代 数 第一章 行列式 1.1 排列和逆序 1.2 二、三阶行列式 1.3 n阶行列式 1.4 行列式的性质 1.5 行列式按行（列）展开 1.6 克莱姆法则 1.1 排列和逆序 1、排列和逆序 定义1 由正整数 组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列。 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 方法2 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 思考题 求排逆序数. 方法2 由前向后求每个数的逆序数. 思考题解答 解 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7 定义 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 1.1.2 对换 把一个排列 中某两个数 互换，得到另一个排列 这样的变换称为一个对换．记为 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，其奇偶性改变． 对换有如下性质： 定理1证明： 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 推论 奇排列调成自然排列的对换次数为奇数， 偶排列调成自然排列的对换次数为偶数. 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 推论证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶 性的变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0), 因此知推论成立. 用消元法解二元线性方程组 1.2 二、三阶行列式 1.2.1 二阶行列式 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 定义 称 为二阶行列式。 注意几个定义：元素，行，列，行标，列标。 主对角线 次对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 若 ，则二元线性方程组的解为 例1 解 定义 称 为三阶行列式. 1.2.2 三阶行列式 (1)沙路法 三阶行列式的计算 .列标 行标 (2)对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 则三元线性方程组的解为: 记 例2 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为: 思考题 思考题解答 解 设所求的二次多项式为 由题意得 得一个关于未知数 的线性方程组, 又 得 故所求多项式为 三