线性代数第一章.ppt

解(1) 注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有 解(2) 注意到行列式各行元素之和等于 有 解 (3) 箭形行列式 例4 证明 证 证 2.证明 1.计算行列式 思考练习 （行列式的性质） 思考练习（行列式性质答案） =右边 思考练习（行列式性质答案） §5 行列式按行（列）展开 余子式与代数余子式： 在n阶行列式 中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij； 而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式. 返回 例1 求出行列式 解 定理3（行列式按一行（列）展开定理） n阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 证： (i)D的第一行只有元素a11?0，其余元素均为零,即 而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故D= a11A11 ; (ii)当D的第i行只有元素aij?0时，即 将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行 D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列 经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后, aij 位于第1行、第1列,即 (iii) 一般地 由 (i) 由(ii) 例2 计算行列式 解 法1 法2 选取“0”多 的行或列 例3 计算行列式 解 计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用. 例4 计算n阶行列式 解 线性代数 任课教师：刘 林 单 位：数理系 联系电话 E—mail： liulinhn@163.com 课堂纪律要求 1. 按时到课，不准迟到、早退。 2. 认真听讲，不准讨论与教学内容无关的事 情。 3. 不准带手机、随身听等上课。 参考资料 1. 黄惠青等编《线性代数》，高等教育出版社。 2. 吴赣昌主编《线性代数》，中国人民大学出版社。 3.《新编线性代数教与学参考》，中国致公出版社。 第一章 行列式 行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则. ● n阶行列式的定义 ●行列式的性质 ●行列式按行（列）展开 ●克莱姆法则—行列式的一个简单应用 §1 二阶与三阶行列式 (1)二阶行列式 为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到： 上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号： 称其为二阶行列式 . 据此，解中的分子可分别记为： 例1 解二元线性方程组 解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式 方程组有惟一解.又 于是方程组的解为 (2)三阶行列式 称为三阶行列式. 例2 计算三阶行列式 解:由主对角线法，有 例3 解线性方程组 解：系数行列式 方程组有惟一解.又 于是方程组的解为 排列及其逆序数 (1)排列: 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in 称为一个n级排列. 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 （总数为 n!个） 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小?大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相 反)——构成逆序. (2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序. 排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为?(i1i2…in). 奇(偶)排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列. =3 =2 例4 ?(2413) ?(312) 例5 ?(n(n-1)…321) ?(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2 =2+4…+(2n-2)=n(n-1) 思考练习（排列的逆序数） 1.?(542163) 2.?(24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31） 3. 若排列的x1x2…xn逆序数为I，求排列xn xn-1…x1的逆序数. § 2 n阶行列式定义 分析： (i)每一项均