线性代数及其应用-课件-第1.4节.ppt

§4 行列式 设是阶方阵,它有个元素;构成矩形数表, 是一个整体,也即的性质与这个元素都有 关 .本节中,我们将把对应于一个数──的 行列式,记为或,这个数将反映的一些 重要特性. 阶方阵的行列式(或)也 称为阶行列式. 二阶和三阶行列 下面先给出二阶、三阶行列式的定义。 设为二阶方阵，则它的二阶行列式 可以看出，二阶行列式有两项，每一项均取 自不同行、不同列的两个原素的乘积；对角 线元素的乘积冠正号，另一项冠负号。 二阶行列式可用来求解二元线性方程组。 例1.20 求解二元线性方程组 解 分别用和乘上列方程两方程的 两端,再将所得两方程相减,得上式等号左端 未知数的系数恰好是方程组系数矩阵 的行列式;当时, 类似地有 这里 此例表明两个方程的二元齐次线性方程组,当它 的系数矩阵的行列式不为0时,有唯一解,且其解 可用二阶列式之商表示,它的一般结论就是克拉 默法则,在下一节中叙述. 设为三阶方阵,则规定它的三阶行列式 (1.13) 个数的乘积项冠负号.这种用来记忆三阶行列式 定义的方法称为对角线法则(显然二阶行列式也 适用对角线法则). 可以看出三阶行列式共六项,每一项均是取自不 同行、不同列的三个元素的乘积,其中三项冠正号, 其余三项冠负号,为方便记忆,作图1.3,图中每条实 线(看作是对角线或平行于对角线的联线)所连接 例1.21 求下列矩阵的行列式: 解 按照三阶行列式的对角线法则,得 二、排列及其逆序数 为了把二阶与三阶行列式的定义推广到阶行列 式上去，先介绍排列及逆序数. 引例 把编号1、2、3的三封信投入贴有标签西 式上去，先介绍排列及逆序数. 门子、松下和索尼的三个信箱,每个信箱投入一封, 共有多少种不同的放法. 解 先取出编号1的信,它可投入三个信箱的任意 一个,故共有三种放法;再取出编号为2的信封,此 时他可投入余下两个空信箱中任一个,故共有2种 放法.最后,编号3的信封职能投入余下的唯一的 空信箱.因此共有种放法. 这六种不同的放法是(信箱一次为西门子、松下、 和索尼): 123,231,312,132,213,321. 我们把数字集合上的一个长为3的有 序组称为的一个3-排列.于是的3-排列数为 一般地,数字集合的一个长为 的有序组称为的一个-排列,简称排列. 的排列个数为,特别,称排列12…为的 自然排列. 设(1.14) 是的一个排列.任取它的一对数与 ,当,则称它们构成顺序对;若 则称它们构成逆序对.排列(1.14)的逆序 对总数称为排列(1.14)的逆序数.显然,上的一 个排列是自然排列当且仅当其逆序数为0. 逆序数是偶数的排列称为偶排列,否则称为奇排 列.可以证明的排列中 偶排列个数=奇排列个数= 下面讨论排列的逆序数的计算方法. 设有排列(1.14).对于数与排 在它后面且比它小的数构成逆序对.当取遍 时就计数了此排列的逆序数. 例1.22 求排列32514的逆序数. 解 对于首位数3,与之构成逆序对的有2个; 对于次位数2,与之构成逆序对的有1个; 对于第3位数5,与之构成逆序对的有2个; 对于第4位数1,与之构成逆序对的有0个; 对于第4位数1,与之构成逆序对的有0个; 于是排列32514的逆序数为2+1+2+0+0=5个. 三、阶行列式的定义 利用排列及逆序数的概念,重新考察三阶行列式 的定义（1.13）式,可以发现: 每一项当元素的行足标是自然排列时,列足标 恰好也是一个排列,这是用排列的语言描述每 项是不同行、不同列元素乘积的事实; (2) 某项冠正、负号的规则是:当该项的行足标是 自然排列时,若列足标是偶排列,则该项冠正 号,否则冠负号(上述规则对二阶行列式也适 用). 现在,把上述规则推广到阶行列式去,从而 给出阶行列式的定义. 定义1.9 设阶方阵 则 称为的阶行列式,其中和式是对集合 的所有排列作和,是排列 的逆序数. 由定义可知,阶行列式(1)共有项;(2)其中 个为正项, 个负项;(3)每项均是的几 个不同行、不同列元素的乘积,并且该项的符 号,当行足标是自然排列时,若列足标是偶排 列则冠正号,否则冠负号. 由定义,若方阵有零行或零列,则 例1.23 证明下三角证的行列式 证 显然只需计算中的非零项. 任取中的一个非零项 因又为下三角阵,故推知 因且为排列,故 又因为下三角阵,故推知以此类推, 有 即排列,其逆序数是0,于 是中只有一个非零项,且 注 (1)上三角阵的行列式有相同结果: 对角阵 的行列式 例1.24 证明 (未标明的元素均是0) 证 记矩阵 任取的一个非零项 因于是且因 于是且 于是排列其逆序数 且 例1.20及注和例1.23的结果应该熟