线性代数讲义(第一章).ppt

关于代数余子式的重要性质 证 用数学归纳法，当n=2时 例6 证明范德蒙(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式 例 7 计算n+1阶行列式 练习： 计算n阶行列式 §5 Cramer法则 非齐次与齐次线性方程组的概念 Cramer法则 齐次线性方程组的相关定理 线性方程组 若常数项b1,b2,…bn不全为零,则称此方程组为n 元非齐次线性方程组；若常数项b1,b2,…bn全为 零则称方程组为n元齐次线性方程组。 1、非齐次与齐次线性方程组的概念 定理5 如果n元线性方程组 的系数行列式 2、Cramer 法则 其中Dj是把系数行列式D中第 j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 则线性方程组(1)有唯一一组解，解可以表为 考察二元线性方程组的消元解法 两式相加可消去x2 系数行列式为： 证明：在各方程两边分别乘以系数行列式第一 列各元素的代数余子式得： 将各等式相加得： 令 D1第一列各元素与D的第一列各元素有相同的代数余子式，故 从而当D≠0时， 例 8 解线性方程组 解 3、齐次线性方程组的相关定理 定理6 若齐次线性方程组(2)的系数行列式不等于零，则它仅有零解。 齐次线性方程组(2)必定有解，因为xi=0，i=1,2,…,n是它的一个解，称之为零解。若系数行列式D≠0，则它有唯一解，即仅有零解。 有非零解。 反之，齐次线性方程组系数行列式D=0 推论 若齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式 D=0 。 例 9 当 取何值时，齐次方程组 有非零解？ 解 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解. 第一章 行列式 二阶、三阶行列式 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行(列)展开 Cramer法则 用消元法解二元线性方程组 1、二阶行列式 §1. 二阶与三阶行列式 两式相加消去x2，得 得方程组的解为 为便于记忆，引入记号 其中，数aij (i=1,2; j=1,2) 称为行列式的元素。 该记号为一个数表，横排称为行，竖排称为列，共有两行 两列，故称之为二阶行列式。 每一元素有两个下标，第一个下标 i 称为 行标，表明 该元素位于行列式的第 i 行；第二个下标 j 称为列标， 表明该元素位于行列式的第 j 列。 主对角线 辅对角线 若记 对于二元线性方程组 则当D≠0时，二元线性方程组的解为 三阶行列式的计算: 对角线法则 §2 n阶行列式的定义 1. 全排列与逆序数 如，1234和4312都是4阶排列，而53142为一个5阶排列。 显然，n阶全排列的个数为n！个。 定义2 在一个n阶排列 j1 j2…js…jt…jn中，若jsjt，则称 js, jt构成该排列的一个逆序。排列 j1 j2…jn中所含逆序的个数称为该排列的逆序数，记作t( j1 j2…jn)。 定义1 将1,2,…,n这n个数按一定顺序排列得到的数组 j1 j2…jn称为一个n阶全排列，简称排列。 例1 求下列排列的逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 2. n阶行列式的定义 考察三阶行列式的定义 （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积， 其中，行标均按自然顺序排列，列标为3阶排列， 当列标取遍所有的3阶排列后，就得到三阶行列 式代数和中的所有项； （3）每项的正负号都取决于三个元素的列标排列的 奇偶性。 （1）三阶行列式共有6项，即3阶排列的个数； 故 定义3 例 2 计算下三角形行列式 解 行列式的一般项为 不为零的项只有 定义4 将一个排列中的两个数位置对调称为对换， 将相邻两个数位置对调称为相邻对换。 定理1 一次对换改变排列的奇偶性。 定理2 定理3 §3 行列式的性质 称之为 D 的转置行列式。 记 性质1 行列式与它的转置行列式的值相等。 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 例如 推论1 如果行列式有两行(列)完全相同，则此 行列式为零. 证明：交换相同的两行，得到的行列式记作D1，则 D1=D，由性质2又有D1=-D，故D=0。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式. 推论2 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 推论3 行列式中如果有两行(列)元素