线性代数课件_第一章y.ppt

第一章 行列式 §1 逆序数与对换 对换 定义 在一个排列中，将某两个元素对调，其余的元素不动，这种对排列的变换称为对换。 定理 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 推论 二元线性方程组 §2 n 阶行列式的定义 思考题 1.利用行列式的定义求行列式 3.三角形行列式 行列式关于行和列的三种运算 （1）互换两行或两列： 思考题 1.设 思考题 §4 行列式按行（列）展开 §5 Cramer 法则 习题课 1. 3.求行列式 方法二: 5.计算 6.求解下列方程 (1) 解:(1)将第2列加到第1列上得到 总结:n阶行列式常用的计算方法 1.对二,三阶行列式按定义(对角线法则)直接计算. 2.对特殊的行列式,如三角形行列式,其值为主对角线元素的乘积. 3.利用行列式的性质将行列式化为三角形行列式来计算,这是常用的基本方法. 4.利用n阶行列式的展开定理将其降阶处理,即Laplace展开法. 5.根据行列式的特点利用加边法,拆项法,递推法等方法计算. 例2：问 l 取何值时，齐次线性方程组 有非零解？ 解： 因齐次方程组有非零解，则 D = 0 故 l = 1, 2 时齐次方程组可能有非零解。 例3: 求平面上两两不重合的三条直线 相交于一点的条件。 解：首先,由三条直线相交于一点，故线性方程组 有惟一解。 不妨设 ( x, y, 1) 是方程组(1)的解, 则它是方程组 的非零解。于是有 其次,由三条直线相交于一点，故其中任意二条直线相交于一点, 所以非齐次线性方程组 都有惟一解。于是 求行列式 D 爪型行列式 2.计算 解:按第一列展开 递推法 解:方法一 加边法(此题也可加一行) 当 时, 当 时,D=0 综上所述D= 拆项法 4. 设 设 求 解: 解: 易知 按最后一列展开得到关于x的多项式函数,其中 的系数为D的相反数. 即D=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d) (2) 故方程的根为 (2)由行列式的性质易得 为方程的3个解,又将第2,3,4列加到 第1列有公因子(x+a+b+c)提出,所以方程的第4个解为-(a+b+c). 再把 第 j 列依次与第 j–1列, 第 j–2列, ···, 第 1 列交换, 经过 j–1次列交换后得 (3) 一般情形, 考虑第 i 行 例 或者 那么 推论：行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即 综上，得公式 例12: 证明范德蒙德( Vandermonde )行列式 证明：用数学归纳法 (1) 当 n = 2 时, (2) 设 n－1 阶范德蒙德行列式成立, 则 = 有 个因子! 例： 例： 设 求 解: 例： D 按第4列展开，然后各列的提出公因子 = 例： D 例： D Cramer法则： 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，则线性方程组(11)有惟一解. 注意:两个条件,两个结论. 其中 证明： 再把 n 个方程依次相加，得 于是 当 D≠0 时,方程组(1)也即(11)有唯一的解 例1：设曲线 经过三点(1,3) (2,4),(3,3),求系数a,b,c. 解:把三个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组 其系数行列式 所以该线性方程组有唯一解 定理 1： 推论1： 如果线性方程组(1)的系数行列式 D≠0 则(1)一定有解, 且解是唯一的。 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零。 Cramer 法则也可以叙述为 定理 的逆否命题是 注意:事实上,由后面章节线性方程组解的存在定理知,行列式为零是线性方程组(1)无解或解不唯一的充要条件. 线性方程组 非齐次与齐次线性方程组的概念: 不全为零，则称此方程 若常数项 组为非齐次线性方程组；若 全为零， 则称此方程组为齐次线性方程组。 齐次线性方程组 易知， 是(2)的解,称为零解。 若有一组不全为零的数是(2)的解称为非零解。 定理2： 推论2： 如果齐次线性方程组的系数行列式 D≠0 则齐次线性方程组只有零解。 对于齐次线性方程组有 如果齐次线性方程组有非零解 则它的系数行列式必为0。 注意:事实上,由线性方程组解的存在定理可知,齐次线性方程组(2)有非零解的充要条件为系数行列式为0. 1.二阶三阶行列式 2. n 阶行列式定义 (n≥1) 称 DT 为 D 的转置行列式。 定义： 设 则 D 经过“行列互换”变为 DT 性质1：行列式与它的转置行列式相等。 注意：由性质1可得下面的所有