线性代数(赵树嫄)第1章行列式.ppt

有非零解, 例 若齐次线性方程组 方程组有非零解 D=0 则 a、b应满足什么条件? 解 有非零解， 练习 如果齐次线性方程组 解 方程组有非零解 D=0 k =0或k =2 求k的值. 方程组的系数行列式 注： 解： 称为n阶的范德蒙(Vandermonde)行列式。 行列式 用数学归纳法证明： 结论成立. 设对n-1阶的范德蒙行列式结论成立. 结论成立. 证 当 时, (根据归纳假设) =12 =120 练习 §1.5 克莱姆法则 当系数行列式D≠0时， 线性方程组 称为方程组的系数行列式。 方程组有唯一解： 当系数行列式D≠0时， 线性方程组 同理，用加减消元法，可得: 其系数行列式为 方程组有唯一解： 一般地， (３) 称为线性方程组(3)的系数行列式. 含有n个未知量n个方程的线性方程组: 它的系数 构成的行列式： 其中Dj(j=1,2,…,n)是 定理2.1 (克莱姆法则) 线性方程组 (3) 当其系数行列式D≠0时, 对应地换为方程组的常数项 得到的行列式. 方程组(3)有且仅有唯一解 将系数行列式D中第 j 列 元素 后 当D≠0时,有且仅有唯一解 (解唯一) 另一方面，可以验证 确实是方程组(3)的解. (解存在) 故当D≠0时, 方程组(3)有且仅有唯一解. 例１ =2100≠0 =1680 方程组有唯一解. =120 =－420 =720 D=2100≠0 D1=1680 D=2100 D1=1680 D2=－420 D3=720 D4=120 方程组的唯一解为： 常数项均为零的线性方程组 方程(3)所对应的齐次线 (4) 当然是方程（3）的解 称为齐次线性方程组(4)的零解. 齐次线性方程组除零解外, 称为齐次线性方程组. (3) 是否还有其它解? 性方程组为: x1=0 x2=0 x3=0 例２ 齐次线性方程组 是其零解. 除零解外, x1=－5 x2=4 x3=3 也是其解, 例 齐次线性方程组 其解必满足 故此方程组只有零解. 称为非零解 的系数行列式D≠0, 定理1.7 如果齐次线性方程组 (4) 则它仅有零解. 证: D≠0时, =0 =0 =0 =0 即方程组只有零解 由克莱姆法则, 方程组有唯一解: 由定理1.7 (4) D≠0 方程组(4)只有零解 方程组(4)有非零解 D=0 D≠0 方程组(4)只有零解 方程组(4)有非零解 D=0 今后将证明: 例３ k取何值时, 解 方程组的系数行列式 =－5k+63 D≠0 方程组仅有零解. 方程组 仅有零解? 即 * §1.4 行列式按行(列)展开 引例： 例如 注： 例１ 　　如 　的逆序数是4+1+0+1+0=6，　 是偶排列　 的逆序数是5+2+1+1+0+0=9　 将 中的３和１ 其余不动，　 称为一个对换， 此时　 的逆序数是　 排列． 说明了一个排列经过一个对换， 的奇偶性．　 偶 奇 奇 偶 是奇排列 两个数码对调， 得到 是偶 记为 改变排列 (定理１.１，P5) 称为相邻对换 练习： 定理1.2．　 (二) 定义1.2　 　 　 ２、 １、 　 定义1.2〞 定义1.2′ （定理1.3.P9） 例１ × √ × 解 例２ 若　　　　　　　　　　　　　是五阶行 列式　　的一项， 则　　　为何值， 项符号是什么？ 此时该 解 此时 或 (1) 若 则 取负号． (2) 若 则 取正号． 例３ 计算n阶行列式 其中 解 记行列式的一般项为 且 依次下去，可得 称上面形式的行列式为 下三角形行列式． 注： 例４ 用行列式的定义来计算行列式 解 设 练习： 例５ 用行列式定义计算 解： 练习： 解： 计算n阶行列式 注： §　1.3 行列式的性质 注： * * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 阜阳师范学院数学与计算科学学院 §1.3 行列式的性质 §1.2 排列、 n 级行列式　　　 §1.1 二阶、三阶行列式 §1.5 克莱姆法则 第一章 行列式 §1.4 行列式按行（列）展开 教学目标： （1）会计算行列式； （2）会用克莱姆法则解线性方程组。 §1.1 二阶、三阶行列式　 引例　二元线性方程组　　　　　 ② ① 将 － ①× ②× 得 同理可得 当 时， 方程组有 唯一解： ＋ － 称为二阶行列式， 横排的称为行， 表示一代数和 左上角到右下角称为 主对角线， 右上角到左下角称为 竖排的称为列． 副对角线． 对角线法则：二阶行列式等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积． 例１　 例２　 设 (1)当 为何值时 (2)当 为何值时 解　 或 因此可得： (1) 　　 (2) 时 且 时 例３