线段垂直平分线的性质.ppt

* M N A C E B D 下图表示的为某班的座位排列情况，每行每列的间隔相同．ＡＢ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五位同学的作为如图所示，他们的座位存在怎么样的 关系？同学Ｃ、Ｄ、Ｅ与同学Ａ、Ｂ之间的距离有什么特征？ ①直线ＭＮ是线段ＡＢ的垂直平分线 ②猜测：直线ＭＮ上的点到Ａ、Ｂ两点的距离相等 猜测1：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 已知：如图，直线MN⊥线段AB,垂足为C, 且AC=CB. 求证：PA=PB A B P M N C 证明：∵　MN⊥AB 于点C （已知）, ∴ ∠PCA= ∠PCB=90°（垂直的定义）． 在 △PAC和△PBC中， AC=BC（已知）, ∠PCA= ∠PCB（已证）, PC=PC（公共边） ∴ △PAC ≌△ PBC（SAS）. ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）. 定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个 端点的距离相等。 A B P M N PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 A B P M N ∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知） ∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段 　　两个端点的距离相等。 ） 猜测２：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 已知：如图，PA=PB 求证：P在AB的垂直平分线上 证明：过P点作MN⊥AB，垂足为Ｃ ∵PA=PB（已知） ∴AC=BC （等腰三角形的“三线合一”） A B P M N Ｃ ∴ MN是AB的垂直平分线 ∴P在AB的垂直平分线上 逆定理：和一条线段两个端点距离 相等的点，在这条线段的垂直平分 线上 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 点P在线段AB的垂直平分线上 PA=PB 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ∵ PA=PB（已知） ∴点P在线段AB的垂直平分线上 （和一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上） A B P M N 例１　已知：如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长 证明： ∵ DE是AB边的中垂线 （已知）， ∴AE=BE（线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的距离相等）． ∴AE+EC=BE+EC=8cm （等式性质）. ∵AC=8cm（已知）, ∵ △BEC的周长=BE+EC+BC（已知）, 又∵ BC=6cm（已知）, ∴ △BEC的周长=8+6 =14cm． 有垂直平分线，就有等腰三角形的产生 例２ 已知:如图,ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：（１）PA=PB=PC; 　　　（２）点P在边AC的垂直平分线上 B A C M N M’ N’ P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 分析： 题型转换：证明三角形的三条边的 垂直平分线相交于一点 *