“不动点”问题的解题思路.pdf

维普资讯 高中数学教与学 2oo3牟 。解题思路与方法o “不动点”问题的解题思路 王 勇 (湖北省襄樊市第一 中学 ，441000) 纵观近年全 国各省市高考数学模拟试 若 c∈R，使f(c)=c，则称 c是f(z)的一个 题，“不动点”问题悄然兴起．这类问题通常以 不动点．设 f(z)的不动点数 目是有限多个． “不动点”为载体，将 函数 、数列、不等式、方 下述命题是否正确?若正确 ，请给予证明；若 程 、解析几何等知识有机地交汇在一起 ，因而 不正确，请举一个例子说明． 极富思考性和挑战性．下面笔者精选出5道典 (1)f(z)是奇函数 ，则 f(x)的不动点数 型例题并予深刻剖析，旨在探索题型规律，揭 目是奇数； 示解题方法 ． (2)厂(z)是偶函数，则 f(x)的不动点数 例 1 对于任意定义在区间D上的函数 目是偶数 ． f(x)，若实数 z0∈D满足f(z0)= z0，则称 分析与解 由不动点定义可知 ，函数 z0为函数 厂(z)在 D上的一个不动点． f(x)的不动点个数就是函数 Y=f(x)与 Y ． 1 ：z的图象交点的个数 。我们不妨先考虑特殊 (1)求 函数 厂()：=2x+ 一2在 (0， 函数 Y=z ，显然Y=z 与Y=z的图象有 +oo)上的不动点 ； 三个交点，因而猜想 (1)可能正确． 1 现将 (1)证明如下： (2)若 函数 厂()=2x+ +n在 (0， ‘ ． 厂‘(z)为奇函数，且 z∈R， +oo)上没有不动点 ，求 a的取值范围． ’ ． ． f(一0)=一f(O)，即f(O)=0． 1 分析与解 (1)设 320是 f(x)=2x+ 1 因此 ，0是 f(x)的一个不动点． 1 假设c≠0是 厂(32)的不动点 ，则 厂(c)= — 2在 (0，+oo)上的不动点 ，则 2zn+ 一2