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第五章 几何变换 本章重点讲解内容： 基本变换 矩阵表示 其他特殊变换 复合变换 坐标系间的变换 变换的光栅方法 坐标表示 5.1 基本变换 几何变换的定义： 改变对象坐标描述的变换称为几何变换，例如改变对象的方向、尺寸和形状 在坐标系不变的情况下，由对象的几何位置或比例改变等引起的变换 几何变换的基本原理 几何变换： 变换图形就是要变换图形的几何关系，同时保持图形的原拓扑关系 5.1 二维基本变换 基本几何变换的类型 平移 旋转 缩放 5.1.1 平移 平移 定义： 对象沿直线运动产生的变换 平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换，物体的大小、方向、形状不变 参数：平移向量(Tx, Ty) 公式： x = x + Tx y = y + Ty 2D 平移举例 多边形各顶点坐标与平移向量进行加法运算，得到各顶点平移后新位置的坐标 5.1.1 平移 矩阵表示 5.1.2 旋转 旋转 定义：对象沿圆弧路径运动产生的变换 参数: 旋转角θ，约定：逆时针为正 旋转点(基准点)：(xr，yr) 旋转变换也是一种刚体变换。物体的大小、形状不变，但方向和位置要改变 5.1.2 旋转 针对坐标原点旋转公式: x = x cosθ - y sinθ y = x sinθ + y cosθ 5.1.2 旋转 因为： x = r cosΨ y = r sinΨ 则：上两个方程组可得到 x = x cosθ- y sinθ y = x sinθ+ y cosθ 5.1.2 旋转 针对任意点（xr, yr）旋转 x = xr + (x - xr) cosθ - (y - yr) sinθ y = yr + (x - xr) sinθ + (y - yr) cosθ 5.1.2 旋转 矩阵表示 5.1.3 2D 缩放 (变比，比例变换) 变比 定义：改变对象尺寸的变换 参数：缩放系数(Sx, Sy)，固定点(Xf, Yf) 公式: 针对坐标原点缩放 针对固定参考点缩放 x’ = x * Sx x’ = Xf+(x-Xf)* Sx y = y * Sy y’ = Yf+(y-Yf)* Sy 5.1.3 2D 缩放 (变比，比例变换) 矩阵表示 2D缩放 举例 2D缩放讨论 如果|Sx|或|Sy|大于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向放大； 如果|Sx|或|Sy|小于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向缩小； 如果|Sx|=|Sy|，则表示均匀缩放； 如果|Sx||Sy|，则表示差值缩放； 如果|Sx|或|Sy|等于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向不变； 如果Sx或Sy小于零，则表示图形在X轴方向或Y轴方向作镜面变换。 2D缩放讨论 缩放变换后，对象可能被重定位 2D变换的矩阵表示 对于平移、旋转和缩放变换，每个基本的变换都可表示为普通距阵形式： P = M1 * P + M2 P’、P表示变换前后两个点的坐标的列向量 M1是一个包含乘法系数的2×2距阵 M2是一个包含平移项的两元素列距阵 2D变换的矩阵表示 对于平移：M1是单位距阵； 对于旋转或缩放：包含与基准点或缩放固定点相关的平移项。(公式5.9 5.14) 为了利用这个方程实现先缩放、再旋转后平移这样的变换顺序，必须每次一步一步地计算点在变换后的坐标。 有效方法是最后坐标位置能从初始坐标位置得到，这就消除了中间坐标值的计算。 引入齐次坐标技术对点的坐标重新表示 2D变换的矩阵表示 齐次坐标： 1946年Maxwell.E.A从几何角度提出来 基本思想是把一个n维空间的几何问题转换到n+1维空间中去 从形式上来说，就是用一个n+1维的向量表示一个n维向量的方法，即n+1维向量表示n维空间中的点。 2D变换的矩阵表示 如：二维空间中点的坐标(x , y)的齐次坐标表示为(h*x ，h*y ，h)(h≠0的任意实数)。 只要给定一个点的齐次坐标表示(xh ，yh，h)，就能得到唯一的笛卡儿坐标(x , y) x= xh/h ， y=yh/h 2D变换的矩阵表示 一个笛卡儿坐标表示的点，用齐次坐标表示时，是无穷的，但一个齐次坐标表示的点，用笛卡儿坐标表示时，是唯一的 齐次坐标表示不是唯一的，通常当h=1是时，称为规格化齐次坐标 用齐次坐标技术，可改写平移变换、缩放变换和旋转变换为统一的乘积形式 2D变换的矩阵表示 齐次坐标表达矩阵 2D图形变换坐标计算 2D变换的矩阵表示 平移变换 x 1 0 tx x y = 0 1