平面杆系结构自由振动的一种解析解法.PDF

2004年7月 重 庆 大 学 学报 Ju1．20o4 第27卷第7期 Journal of Chongqing University V01．27 No．7 文章编号：1000—582X(2004)07—0126一O5 平面杆系结构自由振动的一种解析解法’ 周茂森，陈朝 晖 (重庆大学土木工程学院，重庆 400030) 摘 要：介绍了一种平面杆系结构自由振动的解析解法。即将计算无限自由度平面杆系结构的自 振频率和主振型的广义特征值问题转换为典型的常微分方程边值问题，构造了一系列平凡ODE，建立 了相应的常微分方程组，并利用常微分方程求解器COLSYS予以求解。该方法将一根杆件视为一个单 元，直接求解其运动微分方程，是一种数值解析法，与有限元法相比，无需通过增加单元数提高计算精 度，可精确求解平面杆系结构的任意阶自振频率和主振型。并利用该方法求解了一般约束、弹性支座以 及变截面条件下的平面杆系结构无阻尼弯曲自由振动的任意阶自振频率和主振型，与精确解和现有软 件相比，其计算结果表明，该方法的求解精度和效率较高。 关键词：平面杆系结构自由振动；常微分方程边值问题；ODE求解器 中图分类号：TU3l1．3 文献标识码：A 表征结构动力特性的量包括结构的自振频率、主 用于求解结构自由振动的广义特征值问题，因此，笔者 振型及阻尼，其中，阻尼的大小可由试验测定，自振频 应用了逆幂迭代法、移位法、函数空间的正交化方法以 率及振型可通过计算来确定。结构的自振频率及振型 及一系列构造平凡ODE的技巧，将平面杆系结构自由 对于结构动力响应分析具有重要意义。严格说来，任 振动的广义特征值问题转换为典型常微分方程边值问 何弹性体系都是无限自由度体系，但人们常采用集中 题，建立了相应的常微分方程组，并调用常微分方程求 质量法、能量法和有限元法将其简化为有限自由度体 解器COLSYS求解 ]。算例结果与精确解和现有软 系进行计算，这些方法的物理模型都存在不同程度的 件相比，表明该方法的求解精度和效率较高。 近似，因而对弹性体系在动力荷载作用下的描述是不 完整的。以有限元法为例，欲求解高阶频率和振型或 1 数学模型的建立 提高精度必须以增加单元数为代价，故要实现精确求 1．1 振动微分方程 解任意阶频率和主振型，无论是在理论上还是在实践 假设结构： 上都存在困难。 1)为正交平面杆系结构；2)不考虑杆件的轴向变 随着常微分方程(即 Ordinary Differential Equa— 形、剪切变形和扭转变形；3)杆件各向同性、小变形、 tion，简记作ODE)数值解法的发展，尤其近1O年来一 系列ODE求解器(即Ordinary Differential Equation Sol— 在线弹性范围内；4)杆件在结构平面内作无阻尼弯曲 ver)通用程序相继问世-l J，使直接针对结构自由振 自由振动。 动微分方程的数值解析法成为可能。该方法与前述近 对于结构中的各单元(一般一个杆件可视为一个 似解法相比，物理模型是精确的，是数值解析法，可达 单元)，根据dTUembert原理，可建立如下偏微分方 到用户所指定的任意精度。