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教育部九十四学年度高级中学数学竞赛.PDF
教育部九十四學年度高級中學數學競賽
嘉義區複賽試題（一） 編號：
（學生自填）
（時間二小時）
注意事項：
1. 本試卷共四題，滿分為四十九分。
2. 不可使用計算器。
3. 請將答案寫在答案欄內。
4. 計算紙必須連同試卷交回。
一、電影院經理宣佈，在排成一長列等候購票的顧客中，從前面數起 ，第一位與
(12 分) 排在其前面任一人生日相同的顧客，將可獲得一張免費的電影票 。假設每
一個人出生於一年(365日中任何一天的機率是相同的) 。試求
(1)從前面數起 ，排在第 個位置會獲得電影票的機率 。
k P
k
(2)使 為最大的 是多少 ？
P k
k
1 1
2 2
a n n n
二、若 為無理數， 為大於 1的自然數，試證 (a a 1) (a a 1)
(12 分) 是無理數 。
三、試證：當 a, p 其一為無理數時
(13 分) [(1a) (1a)i]x1 [(1a) (1a)i]x2 ap(1i)x3 ap(1i)x4 ap
無整數解。
abcd
s
四、凸四邊形之四邊長為 a,b,c,d ，令 ， 為一組對角和，試證該
A
2
(12 分)
四邊形之面積為 (s a)(s b)(s c)(s d ) abcd cos 2 A
2
由此或用其他方法解下面問題：求周長為 的四 邊形之中，面積為最大的
2s
四邊形。
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