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数学竞赛模拟题 一、选择题。（每小题5分，共25分） 1、若x, y , z满足方程组 5x-3y+2z=3 ，则 z 的值为（ ） 2x+4y-z=7 x-11y+4z=3 A、0 B、—1 C、1 D、不存在 2、设a, b, c的平均数为M，a, b的平均数为N，N、C的平均数为P，若a b c ，则M与P的大小关系是（ ） A、M=P B、M P C、MP D、不确定 3、设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a =0，有两个不相等的实数根x1, x2，且x11x2 ，则a的取值范围是（ ） A、 B、a C、a D、 4、已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（ ） A、B、C、D、 5、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形PKRF的位置如图所示，点G在 线段DK上，正方形BEFG的边长为2，则△DEK的面积为（ ） A、4 B、3 C、2 D、 二、填空题。（每小题5分，共25分） 6、若— = —2 ，则x2—= . 7、已知a, b, c, d都是质数，允许a, b, c, d相同，且a, b, c, d是35个连续正整数的和，则a+b+c+d的最小值为 。 8、已知a是方程x2-x-2012=0 的一个正根，b为其另一个根，则 b+ = 9、盒子里有10个球，每个球上写有1~10中的一个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数的和可能是3，4……，19，现在从盒中随意取两个球，这两个球上的数的和，最有可能出现的是 。 10、正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为，则点O到BE的距离OM= 。 三、解答题。（每题10分，共计50分） 11、某同学买某种铅笔，当他买了x支，付了y元（x 、y都是整数）时，营业员说：“你要再多买10支，我就总共收你2元钱，这样相当于每买30支，你可节省2元钱。”求x和 y的值。 12、如图，点D、E分别是等边△ABC的边AB、AC上的点，且BD=AE，联结CD、BE交于点O，已知BO=2，CO=5，试求AO的长度。 13、（A、B两题二选一） A、如图，OA是⊙O的半径，延长OA至B， 使OA=AB，C是OA的中点，D是圆周上的点，连结CD、BD，求证：BD=2CD。 B、如图，△ABC的三边满足关系BC= （AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H。 求证：（1）AI=BD； （2）OI=AE。 14、设x = a+b—c，y = c+a—b, z= b+c—a , 其中a,b,c 是质数，且满足x2=y, —=2 。问：a, b, c能否构成三角形的三边？如果能，求出三角形的面积；如果不能，请说明理由。 15、已知，如图，直线y= —x +4与x轴相交于点A，与直线y= x相交于点P。 （1）求点P的坐标。 （2）请判断△OPA的形状并说明理由。 （3）幼点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S，求： S与t之间的函数关系式。 当t为何值时，s最大，并求s 的最大值。 智浪教育—普惠英才文库