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相同的点,定义函数试证.PDF
1. 设(t) 0 是区间[a, b] 上的连续函数，在线性空间C[a, b]上定义二元函数：
b
(f , g ) (s)f (s)g (s)ds, f , g C[a, b]
a
证明：(C[a, b], (,) ) 是内积空间，并指出它是否为Hilbert 空间。
0, t [a, b],
2. 设(C[a, b], || || ) 是实空间，j j 1,2,...,n, j j 1,2,...,n 是一组互不
相同的点，定义函数
n
f (x ) x (t ), x C[a,b],
k k
k 1
f f (x ) R
试证：（1） 是(C[a, b], || || ) 到 的映射，即 ；
R
f f ||f ||
（2 ） 是线性的； （3 ） 是有界的； （4 ）求 。
3. 在C[0,2] 上考虑积分方程
t
x (t) sin(t s)x (s)ds y (t), y C[0,2]
0
证明：对任意的y C[0,2] ，该积分方程都存在唯一连续解x (t) C[0,2] 。
4. 设 K (t, s) 是 [a,b] [a,b] 上 的 连 续 函 数 ， 且 满 足 条 件
b b
max dr | K (t, s)K (s, r) | ds 1，y (t) 是[a, b] 上的连续函数。
atb
a a
b
证明: 积分方程 x (t) K (t, s)x (s)ds y (t) 在C[a, b] 中存在唯一解。
a
A (a ) n n n
5. 设 是 矩阵，矩阵 确定了一个从空间 X
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